Droite de Philon

En géométrie plane, la droite de Philon est le plus court segment joignant deux demi-droites données (Ox) et (Oy) et passant par un point A donné^[1]. Cette droite porte le nom du mathématicien mécanicien Philon de Byzance qui l'aurait mise en place pour résoudre le problème de la duplication du cube^[2].

Propriété fondamentale — Soit [MN] le segment cherché et H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OMN, [MN] est le segment le plus court si et seulement si les distances AM et HN sont égales;

Démonstration :

On trace le cercle de diamètre [OA]. Ce cercle rencontre la demi-droite (Ox) en O et B et la demi-droite (Oy) en O et C. Le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OMN est le point d'intersection de ce cercle avec la droite (MN). Si on suppose que le point A est plus proche de (Ox) que de (Oy), le plus court chemin MN sera obtenu pour un point H situé sur l'arc de cercle (AC).

On appelle $a$ la distance OA, $h$ la distance OH, φ l'angle AOH, θ_b l'angle AOB et θ_c l'angle AOC. La trigonométrie dans les triangles rectangles permet d'obtenir les relations suivantes :

NH=h\tan(\theta _{c}-\varphi )

HM=h\tan(\theta _{b}+\varphi )

HA=h\tan(\varphi )

AM=h\tan(\theta _{b}+\varphi )-h\tan(\varphi )

h=a\cos(\varphi )

La distance que l'on cherche à optimiser est alors :

L(\varphi )=a\cos(\varphi )\left(\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )\right)

La dérivée de L s'exprime alors sous la forme :

L'(\varphi )=a\cos(\varphi )\left(-\tan ^{2}(\theta _{c}-\varphi )+\tan ^{2}(\theta _{b}+\varphi )\right)-a\sin(\varphi )\left(\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )\right)

L'(\varphi )=a\cos(\varphi )\left(\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )\right)\left(-\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )-\tan(\varphi )\right)

L'(\varphi )=L(\varphi )\left(-\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )-\tan(\varphi )\right)={\frac {1}{h}}L(\varphi )(AM-HN)

Le signe de la dérivée est donc celui de la différence AM - HN. Lorsque l'angle φ augmente, AM augmente et HN diminue. La différence augmente et passe d'une valeur négative (si H est en A) à une valeur positive (si H est en B) et s'annule donc pour une valeur φ₀.

La longueur L(φ) est donc décroissante puis croissante et atteint son minimum pour une valeur φ₀ telle que AM = HN.

Duplication du cube

Cette construction permet d'insérer deux moyennes proportionnelles entre deux valeurs $a$ et $b$ et en particulier, permet la résolution de la duplication du cube. Philon présente cette méthode dans un ouvrage de mécanique sur la construction d'arme de jet. En effet, il cherchait à doubler la puissance de ses armes et avait conclu que, pour doubler la puissance, il suffisait de doubler le volume de celles-ci^[3].

Moyennes proportionnelles

Pour insérer deux moyennes proportionnelles entre les valeurs $a$ et $b$ , il suffit de construire un rectangle OBAC tel que OB = $a$ et BA = $b$ , de construire la droite de Philon pour les demi-droites [OB) et [OC) passant par A. Le point H fournit les deux moyennes proportionnelles. Si H_c est le projeté orthogonal de H sur (OC), on peut glisser deux moyennes proportionnelles entre $b$ et $a$ à l'aide de HH_c et OH_c.

En effet,

Puisque NH = AM, les triangles NH_cH et ABM sont égaux, la droite (H_cB) est parallèle à (MN) et l'on peut repérer une série de triangles semblables à NOM : H_cOB, HH_cO, NH_cH d'où l'on tire les égalités de rapports suivantes :

{\frac {OB}{H_{c}O}}={\frac {H_{c}O}{HH_{c}}}={\frac {H_{c}H}{NH_{c}}}

Soit encore :

{\frac {a}{H_{c}O}}={\frac {H_{c}O}{HH_{c}}}={\frac {H_{c}H}{b}}

Cette construction permet en outre de déterminer la racine cubique du rapport $a/b$ et les deux longueurs peuvent être déterminées à l'aide de racines cubiques. Si on note $x$ = OH_c et $y$ = H_cH , on obtient

{\frac {a}{x}}={\frac {x}{y}}={\frac {y}{b}}=t

En multipliant ces trois rapports entre eux, on en déduit :

{\frac {a}{b}}=t^{3}

Soit encore

t={\sqrt[{3}]{\frac {a}{b}}}

Ainsi, on obtient

x={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}

y={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}

En particulier, en prenant $a$ = 1 et $b$ = 2, la valeur $x$ donne la racine cubique de 2.

Construction

Aucune construction à la règle et au compas ne permet de résoudre la duplication du cube, il en est donc de même de la droite de Philon. Mais elle peut être obtenue à l'aide de l'intersection de deux coniques : le point H est en effet situé sur le cercle de diamètre OA, ainsi que sur l'hyperbole d'équation $xy = ab$ .

Duplication du cube

Moyennes proportionnelles

Construction

Notes et références

Voir aussi

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