Durant sa scolarité, Dávid Kaško pratique la danse folklorique pendant neuf ans. Il se tourne ensuite vers l'athlétisme, puis commence le cyclisme à ses dix-huit ans, lorsqu'il obtient son premier vélo de course. Après des débuts en individuel, il évolue au sein des clubs locaux Rimavská Sobota puis Firefly[3].
En 2019, il termine notamment deuxième du championnat de Slovaquie sur route espoirs (moins de 23 ans). Il remporte également le titre national dans le contre-la-montre par équipes avec plusieurs coéquipiers[4]. Lors de la saison 2022, il se classe quatrième du championnat de Slovaquie du contre-la-montre chez les élites. Il intègre par ailleurs l'équipe continentale slovaque Dukla Banská Bystrica à la fin du mois de juillet[5]. En aout, il est sélectionné en équipe nationale pour participer aux championnats d'Europe, qui ont lieu à Munich.
