Décomposition de Dunford

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, la décomposition de Dunford (ou décomposition de Jordan-Chevalley) s'inscrit dans le contexte de la réduction d'endomorphisme, et prouve que tout endomorphisme u trigonalisable (semblable à une matrice triangulaire) est la somme d'un endomorphisme diagonalisable d et d'un endomorphisme nilpotent n, les deux endomorphismes d et n commutant et étant uniques.

Cette décomposition a été démontrée une première fois en 1870 par Camille Jordan, puis dans les années 1950 par Claude Chevalley dans le contexte de la théorie des groupes algébriques. Dans le monde francophone, elle est parfois attribuée à tort à Nelson Dunford, dont les travaux sont postérieurs à ceux de Chevalley^[1].

Ce n'est pas une « réduction » dans le sens où elle n'est pas maximale : il est parfois possible de pousser la décomposition en sous-espaces vectoriels stables plus petits.

Elle prend comme hypothèses que l'espace vectoriel est de dimension finie et que le polynôme minimal est scindé, c'est-à-dire qu'il s'exprime comme produit de polynômes du premier degré. Cette seconde hypothèse est toujours vérifiée si le corps est algébriquement clos, comme celui des nombres complexes. Dans le cas où la propriété n'est pas vérifiée, il est possible d'étendre le corps à sa clôture algébrique, et l'espace vectoriel à ce nouveau corps et dans ce contexte d'appliquer la décomposition de Dunford. Par exemple, le corps des nombres réels se voit généralement étendu pour permettre une application de cette décomposition.

Cette décomposition est largement appliquée. Elle permet un calcul matriciel souvent rapide. C'est néanmoins souvent sous la forme de la réduction de Jordan qu'elle est utilisée.

Théorème

Le théorème de diagonalisabilité permet de déterminer la structure de u quand il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. La décomposition de Dunford s'applique à un cas plus général.

Théorème de la décomposition de Dunford^[2] — Un endomorphisme u d'un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme minimal scindé si et seulement si il existe un unique couple d'endomorphismes d et n tel que :

d est diagonalisable
n est nilpotent
u = d + n
d et n commutent

De plus, d et n sont des polynômes en u.

Principe de la démonstration ^[2]^,^[3]

La démonstration du théorème de décomposition de Dunford repose sur l’idée suivante.

On commence par décomposer l’espace vectoriel E en somme directe des sous-espaces caractéristiques

E=\bigoplus _{i}N_{\lambda _{i}}

,

où les $\lambda _{i}$ sont les valeurs propres de l’endomorphisme $u$ associé au sous-espace caractéristique $N_{\lambda _{i}}$ .

Sur chacun de ces sous-espaces, on considère la restriction de $u$ à $N_{\lambda _{i}}$ et on la décompose sous la forme

u_{N_{\lambda _{i}}}=d_{i}+n_{i}

,

où $d_{i}=\lambda _{i}\,\mathrm {id} _{N_{\lambda _{i}}}$ est diagonalisable.

On montre ensuite que l’endomorphisme: $n_{i}=u_{N_{\lambda _{i}}}-d_{i}$ est nilpotent.
Enfin, comme $d_{i}$ est un multiple scalaire de l’identité, il commute avec $n_{i}$ .

Méthode de décomposition

Pour réaliser une décomposition de Dunford de l'endomorphisme $u$ on va se baser sur la démonstration, en utilisant cette définition de l'endomorphisme $d$ :

$\forall x\in N_{\lambda }(u),d(x)=\lambda x$ , Avec $N_{\lambda }(u)$ le sous-espace caractéristique de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$ .

On peut alors exprimer $d$ à l'aide de 2 matrices $\Delta$ et $P$ :

$\Delta$ correspondant à l'expression de $d$ dans une base $B$ , formée des vecteurs propres généralisés de $u$ ( $\Delta ={\text{diag}}((\lambda _{i})_{1\leq i\leq n})$ ).
$P$ correspondant à la matrice de passage de la base de $\mathbb {K} ^{n}$ à la base $B$ .

On construit $\Delta$ et $P$ de sorte que :

${\displaystyle \forall x\in N_{\lambda }(u),\exists$ , Avec ${\text{col}}(P)_{i}$ la $i$ -ième colonne de $P$ .

On en déduit alors $d=P\ \Delta \ P^{-1}$ et $n=u-d$

Exemple

On se propose de faire la décomposition de Dunford de la matrice suivante :

A={\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\0&0&3\end{pmatrix}}=D+N

Avec $D$ la matrice diagonalisable et $N$ la matrice nilpotente issue de la décomposition de Dunford.

On cherche les valeurs propres de $A$ (i.e. les racines du polynôme caractéristique $\chi _{A}$ ) :

\chi _{A}(X)=\det(A-XI_{3})={\begin{vmatrix}1-X&2&1\\0&1-X&1\\0&0&3-X\end{vmatrix}}=(1-X)^{2}(3-X)

Donc $A$ admet comme valeurs propres 1 (de multiplicité 2) et 3 (de multiplicité 1), on détermine alors $N_{1}(A)$ et $N_{3}(A)$ :

N_{1}(A)=\ker((A-I_{3})^{2})=\ker \left({\begin{pmatrix}0&0&4\\0&0&2\\0&0&4\end{pmatrix}}\right)={\text{Vect}}\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right)

N_{3}(A)=\ker(A-3I_{3})=\ker \left({\begin{pmatrix}-2&2&1\\0&-2&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\right)={\text{Vect}}\left({\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}\right)

On définit :

P={\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}},\qquad \Delta ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}}

On a donc :

D=P\ \Delta \ P^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&1\\0&0&3\end{pmatrix}},\qquad N=A-D={\begin{pmatrix}0&2&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

On retrouve bien les propriétés de $D$ et $N$ :

N^{2}=0,\qquad D\ N=N\ D={\begin{pmatrix}0&2&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

Cas d'applications

En dimension finie, le théorème de Cayley-Hamilton assure que $\chi _{u}(u)=0$ où $\chi _{u}$ désigne le polynôme caractéristique de u. Si $\chi _{u}$ est scindé alors u est décomposable.

C'est en particulier le cas pour tout endomorphisme d'un espace de dimension finie sur un corps algébriquement clos ( $\mathbb {C}$ notamment).

Réduction de Jordan

La décomposition de Dunford, combinée avec la décomposition de Frobenius des endomorphismes nilpotents, permet d'obtenir la réduction de Jordan en dimension finie. En effet, d et n commutent donc les sous-espaces caractéristiques de d sont stables par n.

La restriction de n au sous-espace caractéristique admet une matrice diagonale formée de blocs de Jordan nilpotents (à démontrer...) ce qui donne, en ajoutant λI_p, des blocs de Jordan pour d + n dans une base adaptée. Ainsi, on obtient une matrice diagonale par blocs formée de blocs de Jordan en utilisant la réunion de ces bases.

Décomposition de Dunford

Théorème

Méthode de décomposition

Exemple

Cas d'applications

Réduction de Jordan

Notes

Voir aussi

Bibliographie

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