Déformation (ingénierie)

Puisque l'on ne tient pas compte du changement de surface lors de la déformation, la véritable courbe de contrainte et de déformation relative doit être dérivée. Pour dériver la courbe contrainte-déformation, on peut supposer que le changement de volume est nul même si l'on a déformé les matériaux. On peut supposer que :

${\displaystyle A_{i}\times \varepsilon _{i}=A_{f}\times \varepsilon _{f}}$

Ensuite, la contrainte réelle peut être exprimée comme suit :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{T}={\frac {F}{A_{f}}}&={\frac {F}{A_{i}}}\times {\frac {A_{i}}{A_{f}}}\\&=\sigma _{e}\times {\frac {l_{f}}{l_{i}}}\\[2pt]&=\sigma _{E}\times {\frac {l_{i}+\delta l}{l_{i}}}\\[2pt]&=\sigma _{E}(1+\varepsilon _{E})\end{aligned}}}$

De plus, la déformation réelle ε_T peut être exprimée comme ci-dessous :

${\displaystyle \varepsilon _{T}={\frac {dl}{l_{0}}}+{\frac {dl}{l_{1}}}+{\frac {dl}{l_{2}}}+\cdots =\sum _{i}{\frac {dl}{l_{i}}}}$

On peut alors exprimer la valeur sous la forme

${\displaystyle \int _{l_{0}}^{l_{i}}{\frac {dl}{l}}\,dx=\ln \left({\frac {l_{i}}{l_{0}}}\right)=\ln(1+\varepsilon _{E})}$

Ainsi, l'on peut induire le développement en termes de ${\displaystyle \sigma _{T}}$ et ${\displaystyle \varepsilon _{E}}$ comme bon.

De plus, sur la base de la véritable courbe contrainte-déformation, on peut estimer la région où la striction commence à se produire. Puisque la striction commence à apparaître après la contrainte de traction ultime où la force maximale est appliquée, on peut exprimer la situation de cette manière :

${\displaystyle dF=0=\sigma _{T}dA_{i}+A_{i}d\sigma _{T}}$

cette forme peut donc être exprimée comme ci-dessous :

${\displaystyle {\frac {d\sigma _{T}}{\sigma _{T}}}=-{\frac {dA_{i}}{A_{i}}}}$

Cela indique que la striction commence à apparaître là où la réduction de surface devient très significative par rapport au changement de contrainte. Ensuite, la contrainte sera localisée dans une zone spécifique où la striction apparaît.

De plus, on peut induire diverses relations basées sur une véritable courbe contrainte-déformation.

1) La courbe de déformation relative et de contrainte réelle peut être exprimée par la relation linéaire approximative en utilisant le logarithme de la Contrainte et Déformation réelles. La relation peut être exprimée comme suit :

${\displaystyle \sigma _{T}=K\times (\varepsilon _{T})^{n}}$

Où ${\displaystyle K}$ est le coefficient de contrainte et ${\displaystyle n}$ est le coefficient d'écrouissage. Habituellement, la valeur de ${\displaystyle n}$ a une plage d'environ 0,02 à 0,5 à température ambiante. Si ${\displaystyle n}$ est 1, on peut exprimer ce matériau comme un matériau élastique parfait^[3],[4].

2) En réalité, la contrainte dépend également fortement du taux de variation de la déformation relative. Ainsi, l'on peut induire l’équation empirique basée sur la variation de la vitesse de déformation relative.

${\displaystyle \sigma _{T}=K'\times ({\dot {\varepsilon _{T}}})^{m}}$

Où ${\displaystyle K'}$ est constante liée à la contrainte d’écoulement du matériau. ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{T}}}}$ indique la dérivée de la déformation relative par le temps, également connue sous le nom de taux de déformation relative. ${\displaystyle m}$ est la sensibilité à la vitesse de déformation relative. De plus, la valeur de ${\displaystyle m}$ est liée à la résistance à la striction. Habituellement, la valeur de ${\displaystyle m}$ est compris entre 0 et 0,1 à température ambiante et jusqu'à 0,8 lorsque la température augmente.

En combinant 1) et 2), on peut créer la relation ultime comme ci-dessous :

${\displaystyle \sigma _{T}=K''\times (\varepsilon _{T})^{n}({\dot {\varepsilon _{T}}})^{m}}$

Où ${\displaystyle K''}$ est la constante globale permettant de relier la déformation relative, la vitesse de déformation relative et la contrainte.

3) Sur la base de la courbe contrainte-déformation réelles et de sa forme dérivée, on peut estimer la déformation relative nécessaire pour initier la striction. Cela peut être calculé sur la base de l'intersection entre la courbe contrainte-déformation réelle, comme indiqué à droite.

Cette figure montre également la dépendance de la déformation de striction à différentes températures. Dans le cas des métaux FCC, la courbe contrainte-déformation et sa dérivée dépendent fortement de la température. Par conséquent, à des températures plus élevées, une striction commence à apparaître même sous une valeur de déformation relative plus faible.

Toutes ces propriétés indiquent l’importance du calcul de la courbe contrainte-déformation réelle pour analyser plus en détail le comportement des matériaux dans un environnement soudain.

4) Une méthode graphique, appelée « Considere construction », peut aider à déterminer le comportement de la courbe contrainte-déformation, qu'il y ait une striction ou un étirement sur l'échantillon. En définissant ${\displaystyle \lambda =L/L_{0}}$ en tant que déterminant, les contraintes et déformation réelles peuvent être exprimées avec les Contrainte nominale et déformation nominale comme ci-dessous :

${\displaystyle \sigma _{T}=\sigma _{e}\times \lambda ,\qquad \varepsilon _{T}=\ln \lambda .}$

Par conséquent, la valeur de la contrainte technique peut être exprimée par la ligne sécante constituée par la contrainte réelle et ${\displaystyle \lambda }$ valeur où ${\displaystyle \lambda =0}$ à ${\displaystyle \lambda =1}$. En analysant la forme du diagramme ${\displaystyle \sigma _{T}-\lambda }$ et la ligne sécante, on peut déterminer si les matériaux présentent un étirement ou une striction.

Sur la figure (a), il n’y a qu’un tracé de considéré concave vers le haut. Cela indique qu'il n'y a pas de baisse de l'écoulement, donc le matériau subira une cassure avant l'écoulement. Sur la figure (b), il y a un point spécifique où la tangente correspond à la ligne sécante au point où ${\displaystyle \lambda =\lambda _{Y}}$. Après cette valeur, la pente devient plus petite que la ligne sécante où la striction commence à apparaître. Sur la figure (c), il y a un point où l'écoulement commence à apparaître mais quand ${\displaystyle \lambda =\lambda _{d}}$, l'étirement se produit. Après l'étirement , tout le matériau s'étirera et finira par présenter une cassure. Entre ${\displaystyle \lambda _{Y}}$ et ${\displaystyle \lambda _{d}}$, le matériau lui-même ne s'étire pas, mais seul le cou commence à s'étirer.

Une idée erronée très répandue est que tous les matériaux qui se plient sont « faibles » et ceux qui ne le sont pas sont « solides ». En réalité, de nombreux matériaux qui subissent de grandes déformation élastiques et plastiques, comme l'acier, sont capables d'absorber des contraintes qui provoqueraient la rupture de matériaux fragiles, comme le verre, avec des plages de déformation plastique minimales^[6].

Français	anglais		définition
Déformation	Deformation
Déformation relative (en)[7]	Strain
Déformation relative technique	Engineering strain
Déformation réelle	True strain
Courbe contrainte-déformation, Diagramme contrainte-déformation	Stress-strain curve
	True stress-strain curve
Déformation élastique	Elastic deformation
Écoulement	Yield (engineering)
Limite d'élasticité	Yield point
Élasticité linéaire (en)	Linear elasticity
Déformation plastique écoulement plastique	Plastic deformation
Déformation permanente	Permanent deformation
Déformation temporaire	Temporary deformation
Striction	Necking
Écrouissage	Strain hardening
Étirement	Drawing
Charge		P
		${\displaystyle {\delta }}$	allongement total
		${\displaystyle {A_{0}}}$	Surface de la section transversale de l'éprouvette avant que la déformation n'ait eu lieu
		${\displaystyle {A}}$	Surface de la section transversale de l'éprouvette à laquelle la charge est appliquée
		${\displaystyle {L_{0}}}$	Valeur originale de la longueur de référence
		${\displaystyle {L}}$	Valeurs successives de la longueur à mesure qu'elle change
Contrainte nominale	Engineering stress, Nominal stress	${\displaystyle {\sigma }={\frac {P}{A_{0}}}.}$	La contrainte technique est la charge appliquée divisée par la section transversale d'origine d'un matériau.
Déformation nominale	Engineering strain	${\displaystyle {\epsilon }={\frac {\delta }{L_{0}}}.}$
Contrainte réelle, contrainte vraie, contrainte rationnelle,	True stress	${\displaystyle {\sigma }={\frac {P}{A}}.}$	Contrainte où la force et la déformation sont mesurées en même temps.
Déformation réelle	True strain	${\displaystyle {\epsilon _{t}}=ln{\frac {L}{L_{0}}}}$
Rapport logarithmique de déformation	Logarithmic strain
Variation de solicitation	Strain rate variation

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