Développement en série de Pierce

En 1938, Lehmer remarque que la plupart des développements de nombres se basent sur l'itération suivante, pour une fonction f bien choisie :

${\displaystyle x=f\left(x_{0},f(x_{1},f(x_{2},\ldots ))\right)}$

Par exemple,

• ${\displaystyle f(x,y)=x+{\frac {y}{b}}}$ donne le développement en base b ;
• ${\displaystyle f(x,y)=x+{\frac {1}{y}}}$ donne le développement en fraction continue ;
• ${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{x}}(1+y)}$ donne le développement en série de Engel.

En 1929, Pierce utilise la fonction définie par

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{x}}(1-y).}$

Tout nombre réel ${\displaystyle x}$ strictement compris entre 0 et 1 s'écrit de manière unique sous la forme ${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}-\dotsb }$ où les ${\displaystyle a_{k}}$ forment une suite strictement croissante finie ou infinie d'entiers strictement positifs ; la suite est finie (cas où ${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+\dots +{\frac {(-1)^{N-1}}{a_{1}a_{2}\dots a_{N}}}}$) si et seulement si le nombre est rationnel (et pour l'unicité il faut ajouter la condition ${\displaystyle a_{N-1}\leqslant a_{N}-2}$) ^[3].

Pour x = p/q rationnel strictement compris entre 0 et 1, la suite du développement s'obtient à partir d'un algorithme utilisant des divisions euclidiennes successives, comme pour l'algorithme d'Euclide pour p et q.

Initialisation

On pose x₀ = x et p₀ = p.

Récurrence

À l'étape k :

• a_k+1 est le quotient de la division euclidienne de q par p_k
• ${\displaystyle p_{k+1}<p_{k}}$ est le reste de cette division
• x_k+1 = p_k+1/q

L'algorithme s'arrête quand le reste est nul, ce qui arrive forcément, la suite ${\displaystyle (p_{k})}$ étant strictement décroissante.

La division euclidienne s'écrit ${\displaystyle q=p_{k}a_{k+1}+p_{k+1}}$ donnant ${\displaystyle x_{k}={\frac {p_{k}}{q}}={\frac {1}{a_{k+1}}}\left(1-x_{k+1}\right)}$.

On obtient ${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}{\biggl (}1-{\frac {1}{a_{2}}}{\biggl (}1-\dots -{\frac {1}{a_{N-1}}}{\biggl (}1-{\frac {1}{a_{N}}}{\biggl )}{\biggl )}{\biggl )}={\frac {\displaystyle 1-{\frac {\displaystyle 1-\cdots {\frac {\displaystyle 1-{\frac {1}{a_{N}}}}{\displaystyle \cdots }}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}}$, qui se développe en ${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+\dots +{\frac {(-1)^{N-1}}{a_{1}a_{2}\dots a_{N}}}}$.

On l'applique pour x = 11/37.

Étape k	Diviseur ${\displaystyle p_{k}}$	Division euclidienne ${\displaystyle q=p_{k}a_{k+1}+p_{k+1}}$	Quotient ${\displaystyle a_{k+1}}$	Reste ${\displaystyle p_{k+1}}$
0	11	37 = 11 × 3 + 4	3	4
1	4	37 = 4 × 9 + 1	9	1
2	1	37 = 1 × 37 + 0	37	0
${\displaystyle N=3}$ : Fin de l'algorithme

Soit

${\displaystyle {\frac {11}{37}}={\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{9}}\left(1-{\frac {1}{37}}\right)\right)={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{999}}.}$

Remarque : les ${\displaystyle p_{k}}$ pour ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant N}$ étant strictement décroissants et commençant par une division par ${\displaystyle p}$, le nombre de termes du développement est ${\displaystyle \leqslant p}$.

Par exemple, pour ${\displaystyle p=1,N=1}$ : ${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{q}}}$, et pour ${\displaystyle p=2,N=2}$ : :${\displaystyle {\frac {2}{q}}={\frac {1}{\frac {q-1}{2}}}\left(1-{\frac {1}{q}}\right)}$.

Note : on a également ${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{q-1}}\left(1-{\frac {1}{q}}\right)}$ mais ce développement viole la condition ${\displaystyle a_{N-1}\leqslant a_{N}-2}$^[3].

Pour x irrationnel strictement compris entre 0 et 1, la suite du développement s'obtient par récurrence.

Initialisation

On pose x₀ = x.

Récurrence

À l'étape k :

${\displaystyle a_{k}=\max \left\{n\in \mathbb {N} \,;1-nx_{k}>0\right\}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{k}}}\right\rfloor }$

${\displaystyle x_{k+1}=1-a_{k}x_{k}}$.

Comme ${\displaystyle x_{k}}$ est un irrationnel compris entre 0 et 1, ${\displaystyle x_{k}}$ n'est jamais nul et le processus est infini.

On l'applique pour x = 1/π.

Étape k	Nombre ${\displaystyle x_{k}}$	Partie entière ${\displaystyle a_{k}}$	Itéré ${\displaystyle x_{k+1}}$
0	1/π ≈ 0,318309...	3	0,04507304...
1	0,04507304...	22	0,0845249...
2	0,0845249...	118	0,00174856...
3	0,00174856...	383	0,00157478...

Soit :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{22}}\left(1-{\frac {1}{118}}\left(1-{\frac {1}{383}}\left(\cdots \right)\right)\right)\right)}$ : la suite${\displaystyle (a_{k})}$ est répertoriée comme suite A006283 de l'OEIS.

D'autres suites pour des constantes classiques sont données sur le site de l'OEIS :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-1}=1-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{4}}\left(\cdots \right)\right)\right)}$ ; suite A020725 de l'OEIS ;

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=1-{\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{8}}\left(1-{\frac {1}{33}}\left(\cdots \right)\right)\right)}$ : suite A091831 de l'OEIS ;

${\displaystyle 2-\varphi ={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {1}{17}}\left(\cdots \right)\right)\right)}$ : suite A006276 de l'OEIS.