Effet Purcell

L'ampleur de l'amélioration est donnée par le facteur de Purcell^[2]

${\displaystyle F_{P}={\frac {3}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{free}}{n}}\right)^{3}\left({\frac {Q}{V}}\right)\,,}$

où ${\displaystyle \lambda _{free}}$ est la longueur d'onde du photon émis, ${\displaystyle n}$ l'indice de réfraction du matériau considéré, et ${\displaystyle Q}$ et ${\displaystyle V}$ sont respectivement le facteur de qualité et le volume modal de la cavité.

Cette augmentation est explicable en utilisant l'électrodynamique quantique en cavité telle que proposée par Serge Haroche^[3]. Selon la règle d'or de Fermi, le taux de transition pour un système atome-vide (ou atome-cavité) est proportionnel à la densité d'états finaux. Dans une cavité à la résonance, la densité des états finaux est plus haute (bien que le nombre d'états finaux puisse ne pas l'être). Le facteur Purcell est alors juste le rapport des densités de la cavité

${\displaystyle \rho _{c}={\frac {1}{\Delta \nu V}}}$

à celle de la densité de l'état d'espace libre^[4]

${\displaystyle \rho _{f}={\frac {8\pi n^{3}\nu ^{2}}{c^{3}}}}$

En utilisant

${\displaystyle Q=\nu /\Delta \nu }$

on obtient

${\displaystyle \rho _{c}/\rho _{f}={\frac {c^{3}}{8\pi n^{3}\nu ^{2}}}{\frac {Q}{\nu V}}={\frac {1}{8\pi }}\left({\frac {\lambda _{free}}{n}}\right)^{3}\left({\frac {Q}{V}}\right)}$

ce qui est correct à une constante près.