Ellipsoïde de Jacobi

Avant Jacobi, le sphéroïde de Maclaurin, formulé en 1742, était considéré comme le seul type d'ellipsoïde pouvant être en équilibre^[2],[3]. Lagrange, en 1811^[4], a envisagé la possibilité qu'un ellipsoïde triaxial soit en équilibre, mais a conclu que les deux axes équatoriaux de l'ellipsoïde doivent être égaux, se ramenant à la solution du sphéroïde de Maclaurin. Jacobi s'est cependant rendu compte que la démonstration de Lagrange est une condition suffisante, mais pas nécessaire. Il a fait remarquer^[5] :

« On commettrait une grave erreur si l'on supposait que les sphéroïdes de révolution sont les seules figures d'équilibre admissibles même sous l'hypothèse restrictive des surfaces du second degré [...] En fait une simple considération montre que des ellipsoïdes à trois axes inégaux peuvent très bien être des figures d'équilibre ; et qu'on peut supposer une ellipse de forme arbitraire pour la section équatoriale et déterminer le troisième axe (qui est aussi le plus petit des trois axes) et la vitesse angulaire de rotation telle que l'ellipsoïde soit une figure d'équilibre. »

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Pour un ellipsoïde avec des demi-axes principaux équatoriaux ${\displaystyle a,\ b}$ et un demi-axe principal polaire ${\displaystyle c}$, la vitesse angulaire ${\displaystyle \Omega }$ autour de ${\displaystyle c}$ est donnée par :

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}=2abc\int _{0}^{\infty }{\frac {u\,du}{(a^{2}+u)(b^{2}+u)\Delta }}\,\quad \Delta ^{2}=(a^{2}+u)(b^{2}+u)(c^{2}+u),}$

où ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique et ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle, soumis à la condition :

${\displaystyle a^{2}b^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(a^{2}+u)(b^{2}+u)\Delta }}=c^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(c^{2}+u)\Delta }}.}$

Pour des valeurs fixes de ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$, la condition ci-dessus a une solution pour ${\displaystyle c}$ tel que :

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}>{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

Les intégrales peuvent être exprimées en termes d'intégrales elliptiques incomplètes^[6]. En termes d'intégrale elliptique de forme symétrique de Carlson ${\displaystyle R_{J}}$, la formule de la vitesse angulaire devient :

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {4abc}{3(a^{2}-b^{2})}}(a^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-b^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2}))}$

et la condition sur la taille relative des demi-axes principaux ${\displaystyle a,\ b,\ c}$ est :

${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\frac {a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}(R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2}))={\frac {2}{3}}c^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},c^{2}).}$

Le moment cinétique ${\displaystyle L}$ de l'ellipsoïde de Jacobi est donné par :

${\displaystyle {\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{10}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{{\bar {a}}^{2}}}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\,\quad {\bar {a}}=(abc)^{1/3},}$

où ${\displaystyle M}$ est la masse de l'ellipsoïde et ${\displaystyle {\bar {a}}}$ est le rayon moyen, le rayon d'une sphère de même volume que l'ellipsoïde.