Sphéroïde de Maclaurin

Pour un sphéroïde ayant pour demi-grand axe a et demi-petit axe c, la vitesse angulaire ^[Quoi ?] est donnée par la formule de Maclaurin^[2]

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}}(3-2e^{2})\arcsin(e)-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},}$

où e est l'excentricité des sections transversales méridiennes du sphéroïde, ${\displaystyle \rho }$ est la densité et G est la constante gravitationnelle. La formule prévoit deux types d'équilibre possibles quand ${\displaystyle \Omega \rightarrow 0}$, l'un est une sphère (${\displaystyle e\rightarrow 0}$) et l'autre est un sphéroïde aplati (${\displaystyle e\rightarrow 1}$). Le maximum de la vitesse angulaire se produit à l'excentricité ${\displaystyle e=0,92995}$ et sa valeur est ${\displaystyle \Omega ^{2}/(\pi G\rho )=0,449331}$, de sorte qu'au-dessus de cette vitesse, pas d'état d'équilibre. Mais cela contredit notre expérience et la cause de cette contradiction pourrait être attribuée à deux hypothèses qui ne sont pas réalistes, l'une est l'hypothèse d'homogénéité et l'autre hypothèse est que les formes prennent un simple forme quadrique. Le moment angulaire L est

${\displaystyle {\frac {L}{\sqrt {GM{\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac {a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad {\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}}$

où M est la masse de l'ellipsoïde et ${\displaystyle {\bar {a}}}$ est le rayon moyen, le rayon d'une sphère de même volume que le sphéroïde.