Ensemble de Smith-Volterra-Cantor
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En mathématiques, l'ensemble de Smith–Volterra–Cantor est un exemple d'ensemble de points de la droite réelle qui n'est nulle part dense (en particulier qui ne contient aucun intervalle) et qui est pourtant de mesure de Lebesgue positive. L'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est baptisé d'après les mathématiciens Henry Smith, Vito Volterra et Georg Cantor.
De construction similaire à l'ensemble de Cantor, l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est construit en retirant itérativement des intervalles à l'intervalle unité [0, 1].
Le processus commence en retirant le quart médian de l'intervalle [0, 1]. L'ensemble résultat est donc
![{\displaystyle \left[0,{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9244cc435e4e72801ca2b29aeb2b2828f62665d)
Les étapes suivantes consistent à retirer des sous-intervalles de longueur 1/22n du milieu des 2n−1 intervalles restant. À la deuxième étape on retire donc ]5/32, 7/32[ et ]25/32, 27/32[ et l'ensemble résultat devient :
![{\displaystyle \left[0,{\frac {5}{32}}\right]\cup \left[{\frac {7}{32}},{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},{\frac {25}{32}}\right]\cup \left[{\frac {27}{32}},1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776fb19f7cdce625185c370ade0aa346c3592f5a)
Itérant cette règle à l'infini, l'ensemble de Smith–Volterra–Cantor est l'ensemble des points qui ne seront jamais retirés. L'image suivante illustre l'ensemble initial et cinq itérations.
