Fonction bornée
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En mathématiques, une fonction est dite bornée si l'ensemble de ses valeurs est borné.
Pour une fonction f définie sur un ensemble X et à valeurs réelles ou complexes, cela revient à dire qu'il existe un nombre réel M tel que pour tout x dans X,
Une fonction à valeurs réelles est dite majorée (resp. minorée) si l'ensemble de ses valeurs possède un majorant (resp. minorant) réel. Elle est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
- La fonction sinus est bornée (minorée par –1 et majorée par 1).
- La fonction définie pour tous les réels x à l'exception de 0 est non bornée. À mesure que x s'approche 0, les valeurs de cette fonction deviennent de plus en plus grandes. Cette fonction peut être rendue bornée si on la restreint par exemple à [1, +∞[.
- La fonction définie pour tout réel x est bornée (l'ensemble de ses valeurs est l'intervalle ]0, 1]).
- La fonction circulaire réciproque arc tangente est bornée : pour tout réel x, .
- Une suite bornée est une fonction bornée définie sur l'ensemble ℕ des entiers naturels. L'ensemble de toutes les suites bornées forme l'espace des suites bornées, noté ℓ∞.
- Toute fonction continue de [0, 1] dans ℝ est bornée. Plus généralement :
- toute fonction continue d'un espace compact dans un espace métrique est bornée (cf. Théorème des valeurs extrêmes pour plus de détails) ;
- tout fonction localement bornée d'un espace dénombrablement compact dans ℝ est bornée et atteint ses bornes (voir Passage du local au global).
- La fonction de Dirichlet, qui prend la valeur 1 si x est un nombre rationnel et 0 si x est un nombre irrationnel, est non continue mais bornée. L'ensemble des fonctions réelles bornées définies sur [0, 1] est beaucoup plus grand que le sous-ensemble des fonctions continues sur cet intervalle.[pertinence contestée]
