Entier friable

Le terme smooth (lisse) est proposé en anglais par le cryptologue américain Ronald Linn Rivest au début des années 1980^[3]. Le terme friable, qui désigne la capacité d'un objet à se réduire en menus fragments, est ensuite proposé par l'ingénieur polytechnicien Jacques Balazard, époux de l'écrivaine Simone Balazard et père du mathématicien Michel Balazard. Il s'impose peu à peu à toute la littérature en français et une partie de celle en anglais^[4].

Un entier strictement positif est dit B-friable, ou B-lisse, si tous ses facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à B.

Par exemple 72 900 000 000 = 2⁸ × 3⁶ × 5⁸ est 5-friable car aucun de ses facteurs premiers ne dépasse 5.

Dans cette définition, B n'est pas nécessairement un facteur premier de l'entier B-friable : 12 est 5-friable, ou 5-lisse, même si 5 n'est pas un facteur de 12. Le nombre B n'a pas non plus besoin d'être premier.

D'après Hildebrand-Tenenbaum^[5], pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, le nombre ${\displaystyle \Psi (x,y)}$ des entiers y-friables n'excédant pas x vérifie

${\displaystyle (*)\qquad \Psi (x,y)=x\varrho (u)\exp {O(R)}\;}$

dès que ${\displaystyle y>(\log x)^{1+\varepsilon }}$, où ${\displaystyle u:=(\log x)/\log y}$, et

${\displaystyle R:=(\log(u+1))/\log y+u\exp(-(\log y)^{3/5-\varepsilon }).}$

Cela implique notamment

${\displaystyle (**)\qquad \Psi (x,y)=\{1+o(1)\}x\varrho (u)\;}$

si ${\displaystyle y>\exp(\log \log x)^{5/3+\epsilon }}$, où ${\displaystyle \varrho }$ désigne la fonction de Dickman.
De plus, Hildebrand a montré^[6] que la formule ${\displaystyle \Psi (x,y)=x\rho (u)\exp\{O(1)\}}$ est valable dans le domaine

${\displaystyle y>(\log x)^{2+\varepsilon }}$

si et seulement si l'hypothèse de Riemann est vraie.

Un nombre est dit B-superlisse ou B-ultrafriable si tous ses diviseurs de la forme pⁿ, avec p premier et n entier, sont inférieurs ou égaux à B.

Par exemple, 720 (2⁴3²5¹) est 5-lisse mais pas 5-ultralisse (parce qu'il a des diviseurs primaires plus grands que 5 : 3² = 9 > 5 ou 2³ > 5). Il est par contre 16-ultralisse puisque son plus grand diviseur primaire est 2⁴ = 16. Ce nombre est bien sûr aussi 17-ultralisse, 18-ultralisse, etc.

Les nombres ultrafriables interviennent en algorithmique, en théorie des graphes et bien entendu en théorie des nombres.