Enveloppe de Snell

Étant donné un espace probabilisé filtré ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},\mathbb {P} )}$ et une mesure de probabilité absolument continue ${\displaystyle \mathbb {Q} \ll \mathbb {P} }$ alors un processus adapté ${\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}}$ est l'enveloppe de Snell (sous la mesure ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) du processus ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}$ si

1. ${\displaystyle U}$ est une ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-sur-martingale
2. ${\displaystyle U}$ majore ${\displaystyle X}$, c.-à-d. ${\displaystyle U_{t}\geq X_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-presque sûrement pour tout ${\displaystyle t\in [0,T]}$
3. Si ${\displaystyle V=(V_{t})_{t\in [0,T]}}$ est une ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-sur-martingale qui majore ${\displaystyle X}$, alors ${\displaystyle V}$ majore ${\displaystyle U}$^[1].

Étant donné ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n=0}^{N},\mathbb {P} )}$ et ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ comme ci-dessus, l'enveloppe de Snell ${\displaystyle (U_{n})_{n=0}^{N}}$ (sous la mesure ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) du processus ${\displaystyle (X_{n})_{n=0}^{N}}$ est donnée par l'algorithme descendant récursif

${\displaystyle U_{N}:=X_{N},}$

${\displaystyle U_{n}:=X_{n}\lor \mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[U_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]}$ pour ${\displaystyle n=N-1,\dots ,0}$

où ${\displaystyle \lor }$ est le max^[1].

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