Ergosphère

L'ergorégion^[1],[2],[3] est une région finie^[4],[5] de l'espace-temps qui s'étend depuis la surface limite de stationnarité^[6],[7] jusqu'à l'horizon des événements d'un trou noir de Kerr^[8] ou d'un autre trou noir stationnaire et axisymétrique^[9].

La limite de stationnarité est une surface de genre temps^[7] sauf aux pôles où elle est de genre lumière^[7] et coïncide avec l'horizon des événements^[7]. Lorsqu'elle est de genre temps, les particules peuvent la traverser dans le sens entrant ou sortant^[7].

En coordonnées de Boyer-Lindquist^[10] et à ${\displaystyle t}$ fixé, l'ergosphère d'un trou noir de Kerr est une surface ellipsoïdale^[11] définie par^[12] :

${\displaystyle r=R(\theta )}$,

avec^{[12],[13],[14]} :

${\displaystyle {\begin{aligned}R(\theta )&={\frac {GM}{c^{2}}}+{\sqrt {\left({\frac {GM}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {J}{cM}}\right)^{2}\cos ^{2}\theta }}&{\text{(1)}}\\&={\frac {GM}{c^{2}}}\left[1+{\sqrt {1-\left({\frac {cJ}{GM^{2}}}\cos \theta \right)^{2}}}\;\right]&{\text{(2)}}\end{aligned}}}$,

où :

• ${\displaystyle M}$ est la masse^[10],[13] du trou noir ;
• ${\displaystyle J}$ est son moment cinétique^[10],[13] ;
• ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle ;
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
• ${\displaystyle \cos }$ est la fonction cosinus ;
• ${\displaystyle \theta }$ est la colatitude.

L'équation est souvent notée^[6],[7] :

${\displaystyle R(\theta )=m+{\sqrt {m^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}=m+\left(m^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta \right)^{\frac {1}{2}}}$,

où :

• ${\displaystyle m={\frac {GM}{c^{2}}}}$ ;
• ${\displaystyle a={\frac {J}{cM}}}$.

À l'équateur, le rayon de l'ergosphère est égal au rayon de Schwarzschild^[15] :

${\displaystyle R(\theta )={\frac {2GM}{c^{2}}}}$.

Aux pôles, il est égal au rayon de l'horizon extérieur^[15] — c'est-à-dire de l'horizon des événements^[16] — du trou noir.

Un trou noir de Schwarzschild est, par définition, un trou noir dont le moment cinétique est nul, c'est-à-dire qui n'est pas en rotation.

Pour un tel trou noir, l'ergosphère se confond avec l'horizon des événements, de sorte qu'il n'existe pas d'ergorégion dans ce cas.