Espace de Thom

Soit ${\displaystyle \eta }$ un fibré vectoriel de rang k sur un espace topologique ${\displaystyle X}$. Notons ${\displaystyle E(\eta )}$ l'espace total de ce fibré. Si l'on munit les fibres de ${\displaystyle \eta }$ d'un produit scalaire, on peut définir les fibrations en boules et en sphères associées :

${\displaystyle D(\eta )=\left\{v\in E(\eta )\,|\,\|v\|\leq 1\right\}}$ et ${\displaystyle S(\eta )=\left\{v\in E(\eta )\,|\,\|v\|=1\right\}}$.

La restriction de ${\displaystyle \eta }$ à ces deux espaces topologiques définit naturellement une fibration en boules ${\displaystyle B^{k}}$ et en sphères ${\displaystyle S^{k-1}}$, respectivement. On vérifie facilement qu'à isomorphisme près, ces deux fibrations ne dépendent pas du choix initial d'un produit scalaire et sont donc naturellement associées à ${\displaystyle \eta }$.

L'espace de Thom ${\displaystyle T(\eta )}$ du fibré ${\displaystyle \eta }$ est alors simplement le quotient ${\displaystyle D(\eta )/S(\eta )}$. En d'autres termes, on obtient ${\displaystyle T(\eta )}$ à partir du fibré en boules ${\displaystyle D(\eta )}$ en identifiant tous les points de ${\displaystyle S(\eta )}$. De manière équivalente, ${\displaystyle T(\eta )}$ est le compactifié d'Alexandroff de l'espace total ${\displaystyle E(\eta )}$.

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