Espace des phases quantique

dans lesquels ${\displaystyle |x\rangle }$ et ${\displaystyle |p\rangle }$ sont respectivement les états propres des opérateurs position ${\displaystyle X}$ et impulsion ${\displaystyle P}$ : ${\displaystyle |x\rangle }$ est l'état quantique du système considéré si la valeur de sa coordonnée est exactement égale à ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle |p\rangle }$ est son état quantique lorsque la valeur de son impulsion est exactement égale à ${\displaystyle p}$ . On peut considérer les valeurs moyennes, notées ${\displaystyle \langle x\rangle }$, ${\displaystyle \langle p\rangle }$, et les variances statistiques, notées ${\displaystyle {\bigl (}\sigma _{x}{\bigr )}^{2}}$, ${\displaystyle {\bigl (}\sigma _{p}{\bigr )}^{2}}$, de la coordonnée et de l'impulsion correspondant à un état quantique quelconque ${\displaystyle |\psi \rangle }$ du système. Les définitions explicites de ces quantités sont données par les relations suivantes

${\displaystyle {\begin{cases}X|x\rangle =x|x\rangle \\P|p\rangle =p|p\rangle \end{cases}}}$

Cette inégalité qui relie l'écart type ${\displaystyle \sigma _{x}}$ de la coordonnée avec l'écart type ${\displaystyle \sigma _{p}}$ de l'impulsion est la relation d'incertitude coordonnée-impulsion. Selon cette relation, il existe une limite à la précision avec laquelle les valeurs de la coordonnée et de l'impulsion peuvent être connues simultanément. Cependant, en physique classique, l'espace des phases est défini comme l'ensemble ${\displaystyle \{(p,x)\}}$ des valeurs possibles du paire ${\displaystyle (p,x)}$. Il s’ensuit qu’il n’est pas trivial d’étendre la définition classique de l’espace des phases vers la physique quantique. Le concept d'EPQ apporte une solution rigoureuse à ce problème. Cette solution consiste à définir un EPQ comme étant un ensemble de valeurs moyennes de coordonnes et d'impulsions pour des valeurs données des incertitudes. Les définitions précises de ces valeurs moyennes et incertitudes nécessitent l'introduction d’états quantiques adéquates auxquels elles correspondent.

${\displaystyle {\begin{cases}\langle x\rangle =\langle X\rangle =\langle \psi |X|\psi \rangle \\\langle p\rangle =\langle P\rangle =\langle \psi |P|\psi \rangle \\(\sigma _{x})^{2}=\langle (X-\langle x\rangle )^{2}\rangle =\langle \psi |(X-\langle x\rangle )^{2}|\psi \rangle \\(\sigma _{p})^{2}=\langle (P-\langle p\rangle )^{2}\rangle =\langle \psi |(P-\langle p\rangle )^{2}|\psi \rangle \end{cases}}}$

Comme les opérateurs impulsion et coordonnée ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle X}$ obéissent à la relation de commutation canonique

${\displaystyle [P,X]=-i\hbar }$

où ${\displaystyle \hbar }$ est la constante de Planck réduite, on déduire que l'on a l'inégalité suivante

${\displaystyle (\sigma _{x})}$${\displaystyle (\sigma _{p})}$${\displaystyle \geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Cette inégalité qui relie l’écart-type (incertitude) ${\displaystyle \sigma _{x}}$ de la coordonnée avec l'écart type ${\displaystyle \sigma _{p}}$ de l'impulsion est la relation d'incertitude coordonnée-impulsion. Selon cette relation, il existe une limite à la précision avec laquelle les valeurs des coordonnées et de l'impulsion peuvent être connues simultanément. Cependant, en physique classique, l’espace des phases est défini comme étant l’ensemble ${\displaystyle \{(p,x)\}}$ des valeurs possibles du paire ${\displaystyle (p,x)}$. Il s’ensuit qu’il n’est pas trivial d’étendre la définition de l’espace des phases de la physique classique vers la physique quantique. Le concept d'EPQ apporte une solution rigoureuse à ce problème^[3].

L'introduction du concept d'espace des phases quantique (EPQ) nécessite la recherche d'un type d'états quantiques conjoints d'impulsion et de coordonnée qui soit compatible avec la relation de commutation canonique et le principe d'incertitude. On peut montrer que le type d'états satisfaisant ces critères et qui correspondent aussi à une saturation de la relation d'incertitude sont les états, notés ${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$, qui sont associés à des fonctions d’onde de type gaussien . L'expression explicite de ces fonctions d'onde en représentation des coordonnées est donnée par la relation suivante

${\displaystyle \varphi (x)=\langle x|\langle z\rangle \rangle ={\frac {e^{-{\frac {B}{(\hbar )^{2}}}(x-\langle x\rangle )^{2}+{\frac {i}{\hbar }}\langle p\rangle x}}{(2\pi A)^{\tfrac {1}{4}}}}}$

dans laquelle les quantités ${\displaystyle \langle x\rangle }$, ${\displaystyle \langle p\rangle }$, ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont respectivement les valeurs moyennes et les variances statistiques de la coordonnée et de l'impulsion correspondant à l'état quantique ${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$ considéré lui-même. C'est-à-dire qu'on a les relations suivantes

${\displaystyle {\begin{cases}\langle x\rangle =\langle X\rangle =\langle \langle z\rangle |X|\langle z\rangle \rangle \\\langle p\rangle =\langle P\rangle =\langle \langle z\rangle |P|\langle z\rangle \rangle \\A=\langle (X-\langle x\rangle )^{2}\rangle =\langle \langle z\rangle |(X-\langle x\rangle )^{2}|\langle z\rangle \rangle \\B=\langle (P-\langle p\rangle )^{2}\rangle =\langle \langle z\rangle |(P-\langle p\rangle )^{2}|\langle z\rangle \rangle \end{cases}}}$

Comme l’état ${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$ sature la relation d'incertitude, on a la relation suivante

${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle =({\frac {\hbar }{2}})^{2}}$

On peut aussi montrer qu’un état ${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$ est un état propre d'un opérateur ${\displaystyle Z}$ qui est défini par la ${\displaystyle Z=P-{\frac {2i}{\hbar }}BX}$. L'équation aux valeurs propres correspondante est

${\displaystyle Z|\langle z\rangle \rangle =\langle z\rangle |\langle z\rangle \rangle }$

avec

${\displaystyle \langle z\rangle =\langle p\rangle -{\frac {2i}{\hbar }}B\langle x\rangle }$

Il a été également montré que les états ${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$ et leurs généralisations multidimensionnelles sont les états basiques associées à des fonctions d'onde qui sont covariantes à travers les transformations intégrales qui représentent l'action du groupe formé par les transformations canoniques linéaires multidimensionnelles . Ces états peuvent aussi être considérés comme analogues à ce que l'on appelle les états cohérents et les états cohérents comprimés dans la littérature^[6],[7]

L'espace des phases quantique peut être défini comme étant l'ensemble ${\displaystyle \{(\langle p\rangle ,\langle x\rangle )\}}$ de toutes les valeurs possibles de la paire de valeurs moyennes ${\displaystyle (\langle p\rangle ,\langle x\rangle )}$, ou de manière équivalente comme l'ensemble ${\displaystyle \{\langle z\rangle \}}$ de toutes les valeurs possibles de ${\displaystyle \langle z\rangle }$, pour une valeur donnée de la variance statistique ${\displaystyle B}$ de l'impulsion ^[3],[5]. Il résulte de cette définition que la structure physico-mathématique de l'espace des phases quantique dépend explicitement de la valeur de la variance statistique de l'impulsion. C’est d’ailleurs cette dépendance explicite qui rend la définition en question naturellement compatible avec le principe d’incertitude.On peut remarquer ici que, d'après certains travaux, il est possible d'établir des relations explicites entre la variance de l'impulsion et les paramètres thermodynamiques tels que la température, la pression et la taille du volume contenant les particules considérées à l'équilibre thermodynamique ^[8]. La structure de l'espace des phases quantique pourraient donc dépendre des contraintes thermodynamiques.

• (en) « Articles scientifiques sur l'espace des phases quantique », sur Google Scholar (consulté le 3 février 2025)
• « vidéo sur l'espace des phases quantique », sur Youtube (consulté le 9 novembre 2025)

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