Espace topologique irréductible
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Cet article est une ébauche concernant la topologie.
En topologie, un espace irréductible est un espace topologique non vide qui ne peut pas se décomposer en (c'est-à-dire s'écrire comme réunion de) deux parties fermées strictement plus petites. Ce type d'espaces apparaît (et est utilisé) surtout en géométrie algébrique, où l'irréductibilité est une des propriétés topologiques basiques.
Un espace topologique X non vide est dit irréductible si l'une des affirmations (équivalentes) suivante est réalisée :
Composante irréductible
On cherche souvent à décomposer un espace topologique en parties irréductibles. Une composante irréductible d'un espace topologique X est un sous-espace irréductible de X maximal pour l'inclusion. En utilisant le lemme de Zorn, on peut voir que X se décompose toujours en réunion de composantes irréductibles. Par maximalité, on voit aisément que les composantes irréductibles sont fermées.
Dans le cas d'un espace topologique séparé, les composantes irréductibles sont les singletons. Ainsi la notion d'espaces irréductibles n'a d'utilité que pour certains types de topologie, comme la topologie de Zariski.
Dans un schéma noethérien, les composantes irréductibles sont en nombre fini. Plus généralement tout espace topologique noethérien a un nombre fini de composantes irréductibles[1].
