Espérance mathématique

Variable discrète prenant un nombre fini de valeurs

Si la variable ${\displaystyle X}$ prend les valeurs ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ avec les probabilités ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$, l'espérance de ${\displaystyle X}$ est définie comme^[10] : ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\dotsb +x_{n}p_{n}\;.}$

Comme la somme des probabilités est égale à ${\displaystyle 1}$, l'espérance peut être considérée comme la moyenne des ${\displaystyle x_{i}}$ pondérée par les ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\dotsb +x_{n}p_{n}}{p_{1}+p_{2}+\dotsb +p_{n}}}\;.}$

Exemple : Le jeu de la roulette française consiste à lancer une petite bille sur une roulette contenant ${\displaystyle 37}$ cases. Un joueur mise une certaine somme ${\displaystyle M}$ sur une des cases. Si la bille s'arrête dans sa case, on lui rembourse ${\displaystyle 36}$ fois sa mise (son gain est alors de ${\displaystyle 35M=36M-M}$, sinon il perd sa mise (son gain est alors de ${\displaystyle -M=0-M}$). Pour reprendre la définition générale donnée en introduction de ce chapitre, un évènement élémentaire de ${\displaystyle \Omega }$ est constitué d'un jet de bille et de la lecture du numéro de la case sur laquelle la bille s'est immobilisée. ${\displaystyle \Omega }$ est donc constitué de 37 évènements élémentaires : 1, 2, 3,..., 36, 37. Si le jeu n'est pas truqué, la probabilité d'obtenir n'importe lequel de ces évènements à l'issue d'un jet est la même (${\displaystyle p}$), et comme ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=\sum _{i=1}^{37}\mathbb {P} (i)}$ et que ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$, on a : ${\displaystyle p=1/37}$. L'espérance de gain d'un joueur est donc de : ${\displaystyle \mathbb {E} [\,{\text{Gain}}_{M}]=-M\times {\frac {36}{37}}\ +35M\times {\frac {1}{37}}\approx -0,027M.}$ Ce résultat signifie qu'en moyenne, le joueur perd 2,7 % de sa mise à chaque jeu et inversement que le casino gagne en moyenne 2,7 % de la mise de chaque joueur. Le nombre de joueurs dans un casino est suffisamment important pour que cette espérance corresponde effectivement au gain moyen par joueur pour le casino. Ce jeu est donc défavorable aux joueurs, et favorable au casino^{[Notes 6]}.

Variable discrète prenant un ensemble dénombrable de valeurs

Si la variable ${\displaystyle X}$ prend une infinité dénombrable de valeurs ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ avec les probabilités ${\displaystyle p_{1},p_{2},...}$ l'espérance de ${\displaystyle X}$ est définie comme ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{i=1}^{+\infty }x_{i}\,p_{i},}$ à condition que cette somme soit absolument convergente, c'est-à-dire que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{+\infty }|x_{i}|p_{i}<+\infty }$^[11].

Cette condition est très importante pour assurer l'existence et également l'unicité de l'espérance de la variable aléatoire considérée. Ainsi, par exemple, la série qui prendrait les valeurs ${\displaystyle 1,-2,3,-4,...}$ avec les probabilités ${\displaystyle {\tfrac {c}{1^{2}}},{\tfrac {c}{2^{2}}},{\tfrac {c}{3^{2}}},{\tfrac {c}{4^{2}}},...}$, où ${\displaystyle c={\tfrac {6}{\pi ^{2}}}}$ est choisi de telle sorte que la somme des probabilités donne ${\displaystyle 1}$, donnerait pour somme infinie^{[Notes 7]} : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{+\infty }x_{i}\,p_{i}=c\,\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dotsb \right).}$ Cette somme infinie vaut ${\displaystyle c\ln(2)=0.421488...}$^{[Notes 8]}. Cependant il serait incorrect d'en conclure que l'espérance de ${\displaystyle X}$ est égale à ce nombre : en fait, l'espérance de ${\displaystyle X}$ n'existe pas car la série n'est pas absolument convergente. L'hypothèse d'absolue convergence est nécessaire puisque la somme précédente dépend de l'ordre de sommation des différents termes. Le Théorème de réarrangement de Riemann assure même que l'on peut obtenir n'importe quelle valeur réelle en le faisant varier.

Variable continue à densité

Si la variable aléatoire continue réelle ${\displaystyle X}$ admet une densité de probabilité ${\displaystyle f}$, son espérance est définie comme : ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x}$ à condition que l'intégrale soit absolument convergente, c'est-à-dire que : ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }|x|f(x)\,\mathrm {d} x<+\infty }$^[12].

Définition générale

Une définition générale permet de retrouver toutes les définitions précédentes. Cette définition est basée sur la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue. Soit ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire de l'espace probabilisé ${\displaystyle (\Omega ,\,{\mathcal {A}},\,\mathbb {P} )\,}$ vers ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$. Si ${\displaystyle X}$ est intégrable selon la mesure de probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} }$, l'espérance de ${\displaystyle X}$ est définie par^[13] : ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{\Omega }X(\omega )\,\mathrm {d} \mathbb {P} (\omega ).}$ D'après le théorème de transfert, elle est alors égale à ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{\mathbb {R} }x\,\mathrm {d} \mathbb {P} _{X}(x).}$ Il s’agit donc du centre de masse, ou en encore du moment d'ordre ${\displaystyle 1}$, du support de ${\displaystyle X}$ muni de la mesure de probabilité associée.

L'espérance de la variable aléatoire ${\displaystyle X}$ peut également être en référence au graphe de sa fonction de répartition ${\displaystyle F}$ par une égalité d'aires. En effet, ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mu }$ avec un nombre réel ${\displaystyle \mu }$ si et seulement si les deux surfaces dans le plan ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$ décrites par

${\displaystyle x\leq \mu ,\;\,0\leq y\leq F(x)\quad }$ ou ${\displaystyle \quad x\geq \mu ,\;\,F(x)\leq y\leq 1,}$

respectivement, ont la même aire finie, c'est-à-dire si

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\mu }F(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\mu }^{\infty }{\big (}1-F(x){\big )}\,\mathrm {d} x}$

et les deux intégrales de Riemann impropres convergent. Enfin, cela est équivalent à la représentation

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{0}^{\infty }{\big (}1-F(x){\big )}\,\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{0}F(x)\,\mathrm {d} x,}$

également avec des intégrales convergentes^[14].

Exemple : La quantité quotidienne de précipitation à un endroit (unité : ${\displaystyle \textstyle \mathrm {L} /\mathrm {m} ^{2}=\mathrm {mm} }$) sera modélisée simplement comme une variable aléatoire réelle ${\displaystyle X}$ telle que^{[réf. souhaitée]}

${\displaystyle \mathbb {P} (X\!<\!0)=0,\qquad }$ ${\displaystyle \mathbb {P} (X\!>\!x)=\alpha \!\ \mathrm {e} ^{-\lambda x}\;{\text{ si }}x\geq 0}$

avec deux constantes positives ${\displaystyle \alpha <1}$ et ${\displaystyle \lambda .}$ La fonction de répartition ${\displaystyle F\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ de ${\displaystyle X}$ s'obtient ainsi en

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{pour }}x<0,\\1-\alpha \!\ \mathrm {e} ^{-\lambda x}&{\text{pour }}x\geq 0.\end{cases}}}$

Leur seul point de discontinuité est ${\displaystyle x=0}$ avec hauteur de saut ${\displaystyle 1-\alpha <1.}$ Donc, la variable aléatoire ${\displaystyle X}$ n'est pas discrète et ne possède non plus une densité. La dernière représentation de ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$ comme différence de deux intégrales de Riemann impropres conduit à

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{0}^{\infty }\alpha \!\ \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle =\lim _{b\to \infty }\left[-{\frac {\alpha }{\lambda }}\,\mathrm {e} ^{-\lambda x}\right]_{0}^{b}={\frac {\alpha }{\lambda }}\,.}$

En particulier, les valeurs approximatives ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ et ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{4\!\ \mathrm {mm} }}}$ résultent en l'espérance ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=2\,\mathrm {mm} }$^[14].

Espérance d'une fonction d'une variable aléatoire

${\displaystyle X}$ étant une variable aléatoire à valeur dans un espace mesurable ${\displaystyle (F,\,{\mathcal {F}})}$, une fonction ${\displaystyle \varphi }$ mesurable de ${\displaystyle (F,\,{\mathcal {F}})}$ dans ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ définit une nouvelle variable aléatoire réelle ${\displaystyle \varphi \circ X}$ notée ${\displaystyle \varphi (X)}$, dont l'espérance, lorsqu'elle existe, s'écrit en remplaçant ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle \varphi (x)}$ dans les formules précédentes (théorème de transfert)^[15].

Son espérance est définie par :

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\varphi (X)\right]=\int _{\Omega }\varphi \left(X(\omega )\right)\mathrm {d} \mathbb {P} (\omega ).}$

D'après le théorème de transfert, elle est alors égale à ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\varphi (X)\right]=\int _{F}\varphi (x)\mathrm {d} \mathbb {P} _{X}(x).}$

• Si ${\displaystyle X}$ est une variable aléatoire absolument continue, de densité de probabilité ${\displaystyle f_{X}}$ par rapport à une mesure ${\displaystyle \sigma }$-finie ${\displaystyle \mu }$ sur ${\displaystyle (F,\,{\mathcal {F}})}$, alors :

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\varphi (X)\right]=\int _{F}\varphi (x)f_{X}(x)\mathrm {d} \mu (x).}$

• Si ${\displaystyle X}$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable ${\displaystyle S\subset F}$, alors :

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\varphi (X)\right]=\sum _{x\in S}\varphi (x)\mathbb {P} _{X}(\{x\}).}$

C'est notamment le cas quand ${\displaystyle S}$ est fini. En notant ses valeurs ${\displaystyle x_{1},...x_{n}}$ et ${\displaystyle p_{1},...,p_{n}}$ les probabilités correspondantes, l'espérance devient :

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\varphi (X)\right]=\sum _{k=1}^{n}\varphi (x_{k})p_{k}.}$

En particulier, il est intéressant de considérer la variable aléatoire à valeurs complexes ${\displaystyle \varphi (x)=e^{i\theta X}}$ (où ${\displaystyle \theta }$ est un réel) dont l'espérance mathématique est la transformée de Fourier inverse de ${\displaystyle f_{X}}$ (dans le cas où ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$) :

${\displaystyle \phi _{X}(\theta )=\mathbb {E} \left[{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta X}\right].}$

Il s'agit de la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. L'exponentielle se développe en série de Taylor :

${\displaystyle \phi _{X}(\theta )=\mathbb {E} \left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {({\rm {i}}\theta X)^{k}}{k!}}\right]=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {({\rm {i}}\theta )^{k}}{k!}}\mathbb {E} \left[X^{k}\right].}$

Unités

Si les probabilités sont toujours sans dimensions, les espérances s'expriment toujours avec les mêmes unités physiques (mètres, kilogrammes, secondes, ampères), monétaires (euros) ou abstraites (points, jetons, buts) que les variables aléatoires correspondantes^{[Notes 9]}.

Propriétés élémentaires

• L'espérance d'une variable aléatoire constante est égale à cette constante ; par exemple, si ${\displaystyle b}$ est une constante, alors ${\displaystyle \mathbb {E} [b]=b}$.
• Monotonie : si ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont des variables aléatoires telles que ${\displaystyle X\leq Y}$ presque sûrement, alors ${\displaystyle \mathbb {E} [X]\leq \mathbb {E} [Y]}$^[16].
• Linéarité : l'espérance est un opérateur linéaire. Pour deux variables aléatoires quelconques ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ définies sur le même espace probabilisé et pour deux nombres réels ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$^[16]:

${\displaystyle \mathbb {E} [aX+bY]=a\mathbb {E} [X]+b\mathbb {E} [Y]}$

• Produit : en général, l'opérateur espérance ne respecte pas le produit, c'est-à-dire qu'en général ${\displaystyle \mathbb {E} [XY]\neq \mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]}$. L'égalité est vraie si les variables ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont indépendantes^[17] (la réciproque est fausse^{[Notes 10]}). L'absence de la multiplicativité amène à étudier les covariances et corrélation.

Cas d'une variable aléatoire réelle positive

Si ${\displaystyle X}$ est une variable aléatoire positive ou nulle, alors ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{0}^{+\infty }\mathbb {P} (X\geq x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }\mathbb {P} (X>x)\,\mathrm {d} x}$. Plus généralement, si ${\displaystyle \varphi }$ est positive, continument dérivable, croissante sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$, et si ${\displaystyle \varphi (0)=0}$, on a ${\displaystyle \mathbb {E} [\varphi (X)]=\int _{0}^{+\infty }\varphi ^{\prime }\left(x\right)\mathbb {P} (X\geq x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }\varphi ^{\prime }\left(x\right)\mathbb {P} (X>x)\,\mathrm {d} x}$. Un cas particulier important est celui des moments de ${\displaystyle X}$ : pour ${\displaystyle \alpha >0}$, ${\displaystyle \mathbb {E} [X^{\alpha }]=\int _{0}^{+\infty }\alpha x^{\alpha -1}\mathbb {P} (X\geq x)\,\mathrm {d} x}$, la première égalité étant l'instance ${\displaystyle \alpha =1}$ de l'égalité précédente. Dans le cas d'une variable aléatoire à valeurs entières, ces formules peuvent s'écrire de façon équivalente respectivement : ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} (X\geq k)\quad {\textrm {et}}\quad \mathbb {E} [X^{\alpha }]=\sum _{k\geq 1}\left(k^{\alpha }-(k-1)^{\alpha }\right)\mathbb {P} (X\geq k)}$.

Démonstration

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[\varphi (X)\right]&=\int _{0}^{+\infty }\varphi (x)\,\mathbb {P} _{X}(\mathrm {d} x)\\&=\int _{0}^{+\infty }\left(\int _{0}^{x}\varphi ^{\prime }(u)\,\mathrm {d} u\right)\mathbb {P} _{X}(\mathrm {d} x)\\&=\int _{0}^{+\infty }\left(\int _{0}^{+\infty }\varphi ^{\prime }\left(u\right)1_{u<x}\,\mathrm {d} u\right)\mathbb {P} _{X}(\mathrm {d} x)\\&=\int _{0}^{+\infty }\left(\int _{0}^{+\infty }1_{u<x}\,\mathbb {P} _{X}(\mathrm {d} x)\right)\varphi ^{\prime }(u)\,\mathrm {d} u\\&=\int _{0}^{+\infty }\mathbb {P} \left(X>u\right)\varphi ^{\prime }(u)\,\mathrm {d} u,\end{aligned}}}$

où l'avant-dernière égalité découle du théorème de Fubini. Dans l'expression intégrale de ${\displaystyle \varphi }$ en fonction de ${\displaystyle \varphi ^{\prime }}$, voir 3^e égalité, il est indifférent d'utiliser ${\displaystyle u<x}$ ou ${\displaystyle u\leq x}$. Cette formule est un des avatars de la formule d'intégration par parties, comme on le voit dans le cas particulier où la fonction de répartition de X est continument dérivable.

Loi de l'espérance itérée

• Pour une variable aléatoire discrète : Pour deux variables aléatoires ${\displaystyle X,Y}$, on peut définir l'espérance conditionnelle

qui signifie que ${\displaystyle \mathbb {E} [X|Y](y)}$ est une fonction de ${\displaystyle y}$ (en fait une variable aléatoire). L'espérance itérée vérifie

• Pour une variable continue : dans le cas continu, les résultats sont analogues. Dans ce cas-ci, on utilise la densité de probabilité et les intégrales à la place de la distribution et des sommes. En tout cas, le résultat reste valable :

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mathbb {E} \left[\mathbb {E} [X|Y]\right].}$

Espérance d'une fonctionnelle

En général, l'opérateur espérance ne respecte pas les fonctions de variable aléatoire, c'est-à-dire qu'en général :

${\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\int _{\Omega }g(X)\,\mathrm {d} \mathbb {P} \neq g(\mathbb {E} [X]).}$

Exemple : si la variable aléatoire ${\displaystyle X}$ prend les valeurs ${\displaystyle -1,0}$ et ${\displaystyle 1}$ avec les mêmes probabilités, ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=0}$ mais ${\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=2/3\neq 0^{2}}$.

Une inégalité célèbre à ce propos est l'inégalité de Jensen pour des fonctions convexes (ou concaves).

Caractérisation d'une loi de probabilité

L'espérance d'une variable aléatoire est un important élément de caractérisation d'une loi de probabilité :

• moyenne empirique : on utilise souvent comme estimateur de l'espérance la moyenne empirique, qui en est un estimateur :
  • sans biais ;
  • convergent, selon la loi des grands nombres (et même fortement convergent selon la loi forte des grands nombres) ;
  • distribué normalement asymptotiquement selon le théorème central limite.
• variance et écart type : si ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle X^{2}}$ ont une espérance, la variance de ${\displaystyle X}$ est définie comme ${\displaystyle V(X)=\mathbb {E} ([X-\mathbb {E} (X)]^{2})}$ et l'écart type comme ${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {V(X)}}}$. Variance et écart type sont des indicateurs de dispersion de ${\displaystyle X}$ autour de son espérance : plus la variance est petite, plus les valeurs de ${\displaystyle X}$ sont concentrées près de son espérance^[18]. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet même de majorer la probabilité que la variable ${\displaystyle X}$ s'écarte de son espérance^[19]:

$${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|X-\mathbb {E} (X)\right|\geq \alpha \right)\leq {\frac {\sigma (X)^{2}}{\alpha ^{2}}}\,.}$$

• moments : les moments sont des indicateurs de dispersion d'une variable aléatoire ${\displaystyle X}$. Le moment d'ordre ${\displaystyle r}$ est défini comme l'espérance de la variable ${\displaystyle X^{r}}$ : ${\displaystyle m_{r}=E(X^{r})}$. L'espérance est le moment d'ordre 1.

Caractère central

On considère fréquemment l'espérance comme le centre de la variable aléatoire, c'est-à-dire la valeur autour de laquelle se dispersent les autres valeurs.

En particulier, si ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle 2a-X}$ ont même loi de probabilité, c'est-à-dire si la loi de probabilité est symétrique par rapport à ${\displaystyle a}$, et si ${\displaystyle X}$ admet une espérance, alors ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=a}$.

Mais ce point de vue n'est plus valable lorsque la loi est dissymétrique. Pour s'en persuader il suffit d'étudier le cas d'une loi géométrique, une loi particulièrement dissymétrique. Si ${\displaystyle X}$ représente le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre ${\displaystyle 1}$ avec un dé cubique, on démontre que ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=6}$ ce qui veut dire qu'il faut en moyenne ${\displaystyle 6}$ lancers pour obtenir le chiffre ${\displaystyle 1}$. Pourtant, la probabilité que ${\displaystyle 5}$ essais ou moins suffisent vaut près de ${\displaystyle 0.6}$ et la probabilité que ${\displaystyle 7}$ lancers ou plus soient nécessaires est de ${\displaystyle 0.33}$. Les valeurs de ${\displaystyle X}$ ne se répartissent donc pas équitablement de part et d'autre de l'espérance. La variable aléatoire qui possède cette propriété est la médiane.

Espérance mathématique et choix rationnel

Dans certains cas, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. Il est probable que vous refuserez de jouer. Pourtant l'espérance de ce jeu vous est très favorable : la probabilité de tirer un double 6 est de 1/36 ; on obtient donc :

${\displaystyle {\frac {1\,000\,000}{36}}-{\frac {10\,000\times 35}{36}}=18\,055}$

à chaque partie vous gagnez en moyenne 18 000 euros.

Le problème tient justement sur ce « en moyenne » : si les gains sont extrêmement importants, ils n'interviennent que relativement rarement, et pour avoir une garantie raisonnable de ne pas finir ruiné, il faut donc avoir suffisamment d'argent pour participer à un grand nombre de parties. Si les mises sont trop importantes pour permettre un grand nombre de parties, le critère de l'espérance mathématique n'est donc pas approprié.

Incidence de la prime de risque

Ce sont ces considérations et de risque de ruine qui conduisirent, à partir de son « paradoxe de Saint-Pétersbourg », le mathématicien Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l'idée d'aversion au risque qui conduit à assortir l'espérance mathématique d'une prime de risque pour son application dans les questions de choix.

Applications particulières (économie, assurance, finance, jeux)

• La notion de prime de risque appliquée à l'espérance mathématique fut en économie à l'origine du concept d'utilité (et d'utilité dite « marginale »).
• Les primes d'assurance sont d'un coût supérieur à l'espérance mathématique de perte du souscripteur du contrat. Mais c'est ce risque de forte perte en cas d'évènement rare qui l'incite à le souscrire.
• L'espérance mathématique, comme d'autres concepts probabilistes, est utilisée dans les calculs d'évaluation en finance, par exemple pour l'évaluation d'entreprise.
• La finance comportementale aborde, entre autres, les aspects émotionnels et cognitifs, qui vont au-delà de la simple prime de risque, et qui peuvent interférer avec le concept rationnel d'espérance mathématique à l'heure du choix.
• De même que l'on paye une prime pour éviter le risque avec les assurances, on paie au contraire un accès au risque dans les jeux de hasard (qui rapportent toujours moins que leur espérance mathématique, puisqu'ils doivent s'autofinancer).

Notion d'utilité probabiliste

Plutôt que de passer par une notion de prime, on peut directement établir une fonction d'utilité, associant à tout couple {gain, probabilité} une valeur. L'espérance mathématique constitue alors la plus simple des fonctions d'utilité, appropriée dans le cas d'un joueur neutre au risque disposant de ressources au moins très grandes à défaut d'infinies.

Émile Borel adopta cette notion d'utilité pour expliquer qu'un joueur ayant peu de ressources choisisse rationnellement de prendre un billet de loterie chaque semaine : la perte correspondante n'est en effet pour lui que quantitative, tandis que le gain – si gain il y a – sera qualitatif, sa vie entière en étant changée. Une chance sur un million de gagner un million peut donc valoir dans ce cas précis bien davantage qu'un euro.