Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Formulation probabiliste

Soit ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire d'espérance ${\displaystyle \mathbb {E} (X)}$ et de variance ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ finie^[2] (${\displaystyle \sigma }$ étant l'écart type de ${\displaystyle X}$).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante :

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — Pour tout nombre réel strictement positif ${\displaystyle \alpha }$,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|X-\mathbb {E} (X)\right|\geq \alpha \right)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\alpha ^{2}}}\,.}$

Autrement dit, la probabilité que ${\displaystyle X}$ s'éloigne de plus de ${\displaystyle \alpha }$ de son espérance est plus petite que ${\displaystyle \sigma ^{2}/\alpha ^{2}}$.

La démonstration consiste à appliquer l'inégalité de Markov :

${\displaystyle \mathbb {P} (Z\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E} (Z)}{a}}}$

à la variable aléatoire positive ${\displaystyle Z=(X-\mathbb {E} (X))^{2}}$ et au nombre réel ${\displaystyle a=\alpha ^{2}}$ strictement positif en remarquant que

${\displaystyle \{|X-\mathbb {E} (X)|\geq \alpha \}=\{(X-\mathbb {E} (X))^{2}\geq \alpha ^{2}\}}$.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev peut également être déduite directement d'une simple comparaison des aires, en partant de la représentation d'une espérance comme différence de deux intégrales de Riemann impropres (près du dessin dans la définition générale de l'espérance pour des variables aléatoires réelles)^[3].

Formulation généralisée

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est en fait une propriété plus forte de théorie de la mesure. Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$, un espace mesuré, et ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ une fonction mesurable. Soit encore ${\displaystyle g}$ une fonction borélienne, positive, et croissante. Alors, on a la majoration suivante :

Borne de Tchebychev — Pour tout ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ tel que ${\displaystyle g(t)\neq 0}$, on a

${\displaystyle \mu (\{x\in X\ |\ f(x)\geq t\})\leq {\frac {1}{g(t)}}\int _{X}g\circ f\mathrm {d} \mu .}$

Cette majoration se prouve facilement en remarquant que puisque ${\displaystyle g}$ est croissante, on a l'inégalité ${\displaystyle g(f(x))\geq g(t)1_{\{f(x)\geq t\}}}$ , d'où :

$${\displaystyle \mu (\{x\in X\ |\ f(x)\geq t\})\ =\ \int _{X}1_{\{f(x)\geq t\}}\mathrm {d} \mu (x)\ \leq \ \int _{X}{\frac {1}{g(t)}}g(f(x))\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

On remarque également que si ${\displaystyle \mu }$ est une mesure de probabilité, on retrouve la version probabiliste de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev en prenant ${\displaystyle f=|X-\mathbb {E} (X)|}$ et ${\displaystyle g(t)=t^{2}}$. Mais on peut aussi obtenir d'autres inégalités intéressantes avec d'autres choix de ${\displaystyle g}$ sous de bonnes conditions. Par exemple, quand la variable aléatoire ${\displaystyle X}$ est bornée, avec ${\displaystyle f=X}$ et ${\displaystyle g(t)=e^{\lambda t}}$ on obtient l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev exponentielle : ${\displaystyle \mathbb {P} (X\geq t)\leq e^{-\lambda t+K(\lambda )}}$ où ${\displaystyle K}$ est la fonction génératrice des cumulants de ${\displaystyle X}$.