Expérience de Rüchardt

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Par définition, le coefficient de Laplace d'un gaz vaut :

coefficient de Laplace : ${\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}}$

avec ${\displaystyle C_{P}}$ la capacité thermique isobare et ${\displaystyle C_{V}}$ la capacité thermique isochore.

Le gaz à étudier est placé dans un récipient muni d'un tube vertical. On lâche ensuite dans le tube une bille de diamètre ajusté à celui du tube de façon à créer une étanchéité entre le récipient et l'extérieur, tout en laissant à la bille la possibilité de coulisser dans le tube. Cette bille va alors osciller de haut en bas dans le tube. En faisant les hypothèses que le gaz est parfait et subit une transformation adiabatique réversible, on obtient^[1],[2],[3] :

${\displaystyle \gamma ={4mV_{0} \over P_{\text{éq}}R^{4}T^{2}}={4\pi ^{2}mV_{0} \over P_{\text{éq}}S^{2}T^{2}}}$

avec :

• ${\displaystyle g}$ l'accélération de la pesanteur ;
• ${\displaystyle m}$ la masse de la bille ;
• ${\displaystyle P_{0}}$ la pression extérieure ;
• ${\displaystyle P_{\text{éq}}=P_{0}+mg/S}$ la pression dans le récipient à l'équilibre, lorsque la bille n'oscille pas ;
• ${\displaystyle R}$ le rayon de la bille ;
• ${\displaystyle S=\pi R^{2}}$ la surface de la section du tube ;
• ${\displaystyle T}$ la période des oscillations de la bille dans le tube ;
• ${\displaystyle V_{0}}$ le volume du récipient à l'équilibre, incluant le volume du tube jusqu'à la bille.

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Soit ${\displaystyle h}$ la hauteur de la bille dans le tube lors de ses oscillations et ${\displaystyle h_{\text{éq}}}$ sa hauteur à l'équilibre. On note ${\displaystyle x=h-h_{\text{éq}}}$ l'écart de position de la bille à sa position d'équilibre. On a l'accélération de la bille dans le tube :

${\displaystyle {\ddot {h}}={\mathrm {d} ^{2}h \over {\mathrm {d} t}^{2}}={\mathrm {d} ^{2}x \over {\mathrm {d} t}^{2}}={\ddot {x}}}$

avec ${\displaystyle t}$ le temps. Il s'exerce trois forces sur la bille (il est supposé que la bille coulisse sans frottement dans le tube)^[2],[3] :

• la force de pression due à la pression extérieure ${\displaystyle P_{0}}$ qui s'exerce sur la moitié supérieure de la bille et pousse celle-ci vers le bas ;
• la force de pression due à la pression interne ${\displaystyle P}$ du récipient qui s'exerce sur la moitié inférieure de la bille et pousse celle-ci vers le haut ;
• la pesanteur qui attire la bille de masse ${\displaystyle m}$ vers le bas.

Le principe fondamental de la dynamique donne^[2],[3] :

${\displaystyle m{\ddot {h}}=m{\ddot {x}}=-P_{0}S+PS-mg}$

Lorsque la bille est à l'équilibre dans le tube, elle ne bouge pas, on a ${\displaystyle {\ddot {x}}=0}$, d'où la pression ${\displaystyle P_{\text{éq}}}$ dans le récipient^[2],[3] :

${\displaystyle P_{\text{éq}}=P_{0}+{mg \over S}}$

On peut réécrire par conséquent^[2],[3] :

(a) : ${\displaystyle m{\ddot {x}}=\left(P-P_{\text{éq}}\right)S}$

Au cours des oscillations de la bille, le gaz dans le récipient est comprimé par la bille lorsque celle-ci est en dessous de sa position d'équilibre, il est détendu lorsque la bille est au-dessus de la position d'équilibre. Le gaz étant considéré comme parfait et sa transformation comme adiabatique et réversible, la loi de Laplace s'applique^[2],[3] :

${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constante}}}$

avec ${\displaystyle \gamma }$ le coefficient de Laplace. En différentiant, on obtient^[2],[3] :

(b) : ${\displaystyle {\mathrm {d} P \over P}=-\gamma {\mathrm {d} V \over V}}$

En supposant que, lors des oscillations de la bille, les écarts de pression dans le réservoir sont faibles, on a ${\displaystyle \mathrm {d} P=P-P_{\text{éq}}}$ et ${\displaystyle P\approx P_{\text{éq}}}$, de même qu'en supposant de faibles écarts de volume, on a ${\displaystyle \mathrm {d} V=S\left(h-h_{\text{éq}}\right)=Sx}$ et ${\displaystyle V\approx V_{0}}$. On obtient, par combinaison des relations (a) et (b)^[2],[3] :

${\displaystyle {\ddot {x}}+{\gamma P_{\text{éq}}S^{2} \over mV_{0}}x=0}$

Cette équation différentielle est caractéristique d'un oscillateur harmonique de pulsation ${\displaystyle \omega _{0}}$ telle que^[2],[3] :

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\gamma P_{\text{éq}}S^{2} \over mV_{0}}}}$

La période ${\displaystyle T}$ mesurée des oscillations de la bille valant ${\displaystyle T=2\pi /\omega _{0}}$, on obtient le coefficient de Laplace ${\displaystyle \gamma }$ par^[2],[3] :

${\displaystyle \gamma ={4\pi ^{2}mV_{0} \over P_{\text{éq}}S^{2}T^{2}}}$