Faisceau injectif

On en déduit immédiatement :

Théorème — Tout faisceau ${\displaystyle F}$ de groupes abéliens sur X admet une résolution injective, c'est-à-dire qu'il existe une suite exacte longue

${\displaystyle 0\to F\to I^{0}\to I^{1}\to \ldots \to I^{n}\to \ldots }$

où tous les ${\displaystyle I^{n}}$ sont des faisceaux injectifs de groupes abéliens sur X.

• Pour tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, il existe un plongement de la fibre ${\displaystyle F_{x}}$ dans un groupe abélien injectif ${\displaystyle I_{x}}$. Considérons le préfaisceau (qui est un faisceau) appelé faisceau gratte-ciel ${\displaystyle I(x)}$ et défini par :
  ${\displaystyle I(x)(U)={\begin{cases}I_{x}&{\text{si}}\quad x\in U\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$
  Alternativement, si ${\displaystyle \{x\}}$ est fermé dans ${\displaystyle X}$ alors ${\displaystyle I(x)={i_{x}}_{*}I_{x}}$ avec ${\displaystyle \{x\}{\stackrel {i_{x}}{\hookrightarrow }}X}$ (plus généralement, ${\displaystyle I(x)={i_{\overline {\{x\}}}}_{*}I_{x}}$).

Pour tout faisceau ${\displaystyle A}$ de groupes abéliens, on a ${\displaystyle Hom_{Faisc(X)}(A,I(x))\cong Hom_{\mathbb {Z} }(A_{x},I_{x})}$. Il s'ensuit que ${\displaystyle I(x)}$ est un faisceau injectif.

• Le produit de faisceaux injectifs est un faisceau injectif. L'application naturelle
  ${\displaystyle F\to I^{0}:=\prod _{x\in X}I(x)}$
  est un monomorphisme de ${\displaystyle F}$ dans un faisceau injectif.

Module injectif

• Portail des mathématiques