Monomorphisme

Les termes consacrés monomorphisme et épimorphisme ont été originellement introduits par Bourbaki, qui utilisait monomorphisme comme raccourci pour désigner les fonctions injectives. Plus tard, les théoriciens des catégories ont donné de ces deux termes la définition ci-dessus, ce qui a causé quelques malentendus dans les cas où la nouvelle notion ne coïncidait pas avec l'ancienne. Saunders Mac Lane^[1] a tenté de remédier à la situation en redonnant à « monomorphisme » sa signification ensembliste antérieure, et en appelant « morphisme monique » la notion catégorique, mais ses choix ne sont pas entrés dans l'usage^[2].

• Tout isomorphisme est un monomorphisme.

• Tout morphisme d'une catégorie concrète dont l'application sous-jacente est injective est un monomorphisme.

• Dans la catégorie des ensembles, la réciproque est vraie, et donc les monomorphismes sont exactement les injections^[3]. La réciproque est également vraie dans la plupart des catégories usuelles, de par l'existence d'objets libres sur un générateur. En particulier, c'est vrai pour toute catégorie abélienne concrète, et également pour la catégorie des groupes^[3] et celle des anneaux.

• En revanche, dans d'autres catégories concrètes, les monomorphismes ne sont pas nécessairement injectifs. Par exemple, dans la catégorie Div des groupes abéliens divisibles et des morphismes de groupes entre eux, il y a des monomorphismes qui ne sont pas injectifs : considérer l'application quotient f : Q → Q/Z. Elle n'est pas injective ; cependant, c'est un monomorphisme de cette catégorie^[4],[5]. En effet, si f ∘ g₁ = f ∘ g₂ pour deux morphismes g₁, g₂ : G → Q où G est un groupe abélien divisible alors f ∘ h = 0 où h = g₁ – g₂ (ce qui a un sens dans une catégorie additive). Cela signifie que le groupe (divisible) im(h) est inclus dans Z donc trivial, autrement dit : h = 0, donc g₁ = g₂.

• Le composé de deux monomorphismes est un monomorphisme.
• Pour tout objet ${\displaystyle X}$ d'une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, la flèche unité ${\displaystyle 1_{X}}$ de ${\displaystyle Hom(X,X)}$ est un monomorphisme.
• Si la flèche produit ${\displaystyle vu}$ est un monomorphisme, alors la flèche ${\displaystyle u}$ est un monomorphisme.
• D'après les deux propriétés précédentes, toute section (c'est-à-dire tout morphisme inversible à gauche) est un monomorphisme^[6]. Les sections sont aussi appelées des split monos^{[réf. souhaitée]} ou monomorphismes directs^[3].
• Un morphisme f : X → Y est un monomorphisme si et seulement si le produit fibré de f par f existe et est égal à X (muni des applications id_X)^[7].
• Tout noyau est un monomorphisme.