Fenêtre de Viviani

On a les représentations suivantes^[3] (pour une sphère de rayon R) :

Système d’équations cartésiennes : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$ et ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=Rx}$, cette dernière expression venant de celle d'un cylindre de centre ${\displaystyle (x,y)=\left({\frac {R}{2}},0\right)}$, de rayon ${\displaystyle {\frac {R}{2}}}$ et d'axe parallèle à l'axe des ${\displaystyle z}$ : ${\displaystyle \left(x-{\frac {R}{2}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {R}{2}}\right)^{2}}$.

Paramétrisation cartésienne :

La sphère peut être paramétrée par ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}x&=&R\cos \theta \cos \varphi \\y&=&R\sin \theta \cos \varphi \\z&=&R\sin \varphi \end{array}}\right.}$ où ${\displaystyle -\pi <\theta <\pi ,-{\frac {\pi }{2}}<\varphi <{\frac {\pi }{2}}.}$

En reportant dans l'équation du cylindre, on obtient : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-Rx=R^{2}\cos \varphi (\cos \varphi -\cos \theta )=0.}$

Donc ${\displaystyle \cos \varphi =\cos \theta }$ et le paramétrage de la courbe de Viviani :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}x&=&R\cos ^{2}\theta \\y&=&R\sin \theta \cos \theta \\z&=&R\sin \theta \end{array}}\right.}$ avec ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$