Filtration de Moy-Prasad

Dans leurs travaux fondateurs sur la théorie des immeubles, François Bruhat et Jacques Tits ont défini des sous-groupes associés aux fonctions concaves du système de racines^[1]. Ces sous-groupes sont un cas particulier des sous-groupes de Moy-Prasad, définis lorsque le groupe est scindé. Moy et Prasad^[2] ont alors généralisé la construction de Bruhat-Tits aux groupes quasi-scindés, en particulier aux tores, et d'utiliser ces sous-groupes pour étudier la théorie des représentations du groupe ambiant.

L'algèbre de Lie de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$ est ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, et ses sous-algèbres de Moy-Prasad sont les idéaux non nuls de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ :

Un autre exemple de groupe réductif p-adique est le groupe général linéaire ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ ; cet exemple généralise le précédent car ${\displaystyle {\text{GL}}_{1}(\mathbb {Q} _{p})=\mathbb {Q} _{p}^{\times }}$. Comme ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ est non-abélien (pour ${\displaystyle n\geq 2}$ ), il comporte une infinité de sous-groupes parahoriques. Un sous-groupe parahorique particulier est ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$. Les sous-groupes de Moy-Prasad de ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$ sont les sous-groupes d'éléments congrus à l'identité modulo certaines puissances de ${\displaystyle p}$. Plus précisément, lorsque ${\displaystyle r}$ est un entier positif que nous définissons$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{r}=1+(p\,\mathbb {Z} _{p})^{r}=\{u\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }:u\equiv 1{\bmod {p^{r}}}\}.}$$Les exemples suivants utilisent les nombres p-adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ et les entiers p-adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. Un lecteur peu familier avec ces anneaux pourra plutôt remplacer ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ par les nombres rationnels ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ et ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ par les entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sans perdre l'idée principale.$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p})_{r}=(p\,\mathbb {Z} _{p})^{r}=\{p^{r}a:a\in \mathbb {Z} _{p}\}.}$$Plus généralement, si ${\displaystyle r}$ est un nombre réel positif, on se ramène au cas entier :$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{r}:=(\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{\lfloor r\rfloor },\qquad (\mathbb {Z} _{p})_{r}:=(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor }}$$Cet exemple illustre le phénomène général selon lequel, bien que la filtration de Moy-Prasad soit indexée par les réels positifs, la filtration s'altère uniquement sur un sous-ensemble discret et périodique (ci dessus, les entiers naturels).

où ${\displaystyle {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$ est l'algèbre des matrices n × n à coefficients dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. L'algèbre de Lie de ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ est ${\displaystyle {\text{M}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$, et ses sous-algèbres de Moy-Prasad sont les espaces de matrices égales à la matrice nulle modulo certaines puissances de ${\displaystyle p}$ ; quand ${\displaystyle r}$ est un entier positif que nous définissons$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}=1+(p\,{\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}))^{r}=\{u\in {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}):u\equiv 1{\bmod {p^{r}}}\}.}$$Dans cet exemple, la filtration de Moy-Prasad sont communément notés ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})_{x,r}}$ au lieu de ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}}$, où ${\displaystyle x}$ est un point de la construction de ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ dont le sous-groupe parahorique correspondant est ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}).}$$${\displaystyle {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}=(p\,{\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}))^{r}=\{u\in {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}):u\equiv 0{\bmod {p^{r}}}\}.}$$Enfin, comme précédemment, si ${\displaystyle r}$ est un nombre réel positif, on pose :$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}:={\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor },\qquad {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}:={\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor }}$$Soit ${\displaystyle G}$ un ${\displaystyle k}$-groupe réductif, ${\displaystyle r\geq 0}$, et ${\displaystyle x}$ un point de l'immeuble de Bruhat-Tits de ${\displaystyle G}$. Le ${\displaystyle r}$-ième sous-groupe de Moy-Prasad de ${\displaystyle G(k)}$ en ${\displaystyle x}$ est noté ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$. De même, la ${\displaystyle r}$-ème sous-algèbre de Moy-Prasad Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ en ${\displaystyle x}$ est noté ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$ ; c'est un ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$-module libre, et même un réseau. (En fait, l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$ peut également être définie lorsque ${\displaystyle r<0}$, bien que le groupe ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ ne puisse pas l'être.)

Bien que la filtration de Moy-Prasad soit couramment utilisée pour étudier la théorie des représentations des groupes p-adiques, on peut construire des sous-groupes de Moy-Prasad sur n'importe quel corps hensélien de valuation discrète ${\displaystyle k}$, et pas seulement sur un corps local non archimédien. Dans cette section et les suivantes, nous supposerons donc que le corps de base ${\displaystyle k}$ est hensélien de valuation discrète et ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$ son anneau d'entiers. Néanmoins, le lecteur est invité à supposer, par souci de simplicité, que ${\displaystyle k=\mathbb {Q} _{p}}$, de sorte que ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} _{p}}$.

Une propriété fondamentale de la filtration de Moy-Prasad est qu'elle est décroissante : si ${\displaystyle r\leq s}$ alors ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}\supseteq {\mathfrak {g}}_{x,s}}$ et ${\displaystyle G(k)_{x,r}\supseteq G(k)_{x,s}}$. On définit :

Sous certaines hypothèses techniques sur ${\displaystyle G}$, une propriété importante supplémentaire est satisfaite. Par la propriété du sous-groupe du commutateur, le quotient ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}}$ est abélien si ${\displaystyle r\leq s\leq 2r}$. Dans ce cas il existe un isomorphisme canonique ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}\cong G(k)_{x,r:s}}$, appelé isomorphisme Moy-Prasad . L'hypothèse technique nécessaire pour que l'isomorphisme Moy-Prasad existe est que ${\displaystyle G}$ être apprivoisé, c'est-à-dire que ${\displaystyle G}$ se divise sur une extension docilement ramifiée du champ de base ${\displaystyle k}$. Si cette hypothèse est violée alors ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}}$ et ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}}$ ne sont pas nécessairement isomorphes. ^[3]$${\displaystyle G(k)_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}G(k)_{x,s},\qquad {\mathfrak {g}}_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}{\mathfrak {g}}_{x,s}.}$$Cette convention n'est qu'un raccourci de notation car pour tout ${\displaystyle r}$, il existe ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tel que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r+}={\mathfrak {g}}_{x,r+\varepsilon }}$ et ${\displaystyle G(k)_{x,r+}=G(k)_{x,r+\varepsilon }}$.

La filtration de Moy-Prasad satisfait aux propriétés supplémentaires suivantes^[4].

• Un saut dans la filtration de Moy-Prasad est défini par un indice ${\displaystyle r}$ tel que ${\displaystyle G(k)_{x,r+}\neq G(k)_{x,r}}$. L'ensemble des sauts est discret et dénombrable.
• Si ${\displaystyle r\leq s}$, alors ${\displaystyle G(k)_{x,s}}$ est un sous-groupe normal de ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ et ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,s}}$ est un idéal de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$. On note parfois le groupe quotient ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}:=G(k)_{x,r}/G(k)_{x,s}}$ et l'algèbre quotient ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}:={\mathfrak {g}}_{x,r}/{\mathfrak {g}}_{x,s}}$.
• Le quotient ${\displaystyle G(k)_{x,0:0+}}$ est un groupe réductif sur le corps résiduel de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$, à savoir le quotient réductif maximal de la fibre spécial du ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$-groupe donné par le parahorique ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$. En particulier, si ${\displaystyle k}$ est un corps local non-archimédien (e.g. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$) alors ce quotient est un groupe fini de type Lie.
• ${\displaystyle [G(k)_{x,r},G(k)_{x,s}]\subseteq G(k)_{x,r+s}}$ et ${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{x,r},{\mathfrak {g}}_{x,s}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{x,r+s}}$; ici le premier crochet est le commutateur et le second le crochet de Lie.
• Pour tout automorphisme ${\displaystyle \theta }$ de ${\displaystyle G}$ on a ${\displaystyle \theta (G(k)_{x,r})=G(k)_{\theta (x),r}}$ et ${\displaystyle {\text{d}}\theta ({\mathfrak {g}}_{x,r})={\mathfrak {g}}_{\theta (x),r}}$, où ${\displaystyle {\text{d}}\theta }$ est la dérivée de ${\displaystyle \theta }$.
• Pour tout uniformisante ${\displaystyle \varpi }$ de ${\displaystyle k}$ on a ${\displaystyle \varpi {\mathfrak {g}}_{x,r}={\mathfrak {g}}_{x,r+1}}$.

Sous certaines hypothèses techniques sur ${\displaystyle G}$, une propriété importante supplémentaire est satisfaite. Le quotient ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}}$ est abélien si ${\displaystyle r\leq s\leq 2r}$. Dans ce cas il existe un isomorphisme canonique ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}\cong G(k)_{x,r:s}}$, dit isomorphisme Moy-Prasad. L'hypothèse technique nécessaire pour que l'isomorphisme de Moy-Prasad existe est que ${\displaystyle G}$ soit modéré, c'est-à-dire que ${\displaystyle G}$ se scinde sur une extension modérément ramifiée du corps de base ${\displaystyle k}$. Sans cette hypothèse, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}}$ et ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}}$ ne sont pas nécessairement isomorphes^[3].

La filtration de Moy-Prasad peut être utilisée pour définir un invariant numérique important d'une représentation lisse ${\displaystyle (\pi ,V)}$ de ${\displaystyle G(k)}$, la profondeur de la représentation : c'est le plus petit nombre ${\displaystyle r}$ tel qu'il existe ${\displaystyle x}$ dans l'immeuble de ${\displaystyle G}$, et un vecteur non nul de ${\displaystyle V}$ qui est fixé par ${\displaystyle G(k)_{x,r+}}$.

À la suite de l'article définissant leur filtration, Moy et Prasad ont prouvé un théorème de structure pour les représentations supercuspidales de profondeur nulle^[5]. Soit ${\displaystyle x}$ un point dans une face minimale de la construction de ${\displaystyle G}$ ; c'est-à-dire que le sous-groupe parahorique ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$ est parahorique maximal. Le quotient ${\displaystyle G(k)_{x,0:0+}}$ est un groupe fini de type de Lie. Soit ${\displaystyle \tau }$ être l'induction à ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$ d'une représentation cuspidale au sens de Harish-Chandra (voir aussi Théorie de Deligne-Lusztig) de ce quotient. Le groupe parahorique ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$ est un sous-groupe normal d'indice fini du stabilisateur ${\displaystyle G(k)_{x}}$ de ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle G(k)}$. Soit ${\displaystyle \rho }$ être une représentation irréductible de ${\displaystyle G(k)_{x}}$ dont la restriction à ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$ contient ${\displaystyle \tau }$ comme sous-représentation. Alors l’induction compacte de ${\displaystyle \rho }$ à ${\displaystyle G(k)}$ est une représentation supercuspidale de profondeur nulle. De plus, chaque représentation supercuspidale de profondeur nulle est isomorphe à l’une de cette forme.

Dans le cas modéré, la correspondance de Langlands locale devrait préserver la profondeur, où la profondeur d'un paramètre L est définie en utilisant la filtration (en indice supérieur) sur le groupe de Weil^[6].