Filtre de Wiener

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Le signal observé est:

${\displaystyle y(t)=x(t)+\epsilon (t)\,,}$

où ${\displaystyle x(t)}$ est le signal d'origine et ${\displaystyle \epsilon (t)}$ est le bruit additif.

L'estimation du signal d'origine est obtenue par convolution avec le noyau de Wiener: ${\displaystyle {\hat {x}}(t)=(w\star y)(t)}$, ou dans le domaine fréquentiel:

${\displaystyle {\hat {X}}(f)=W(f)\,Y(f)}$.

Le filtre de Wiener dépend des caractéristiques du signal et du bruit:

${\displaystyle W(f)={\frac {S_{x}(f)}{S_{x}(f)+S_{\epsilon }(f)}}\,,}$

où ${\displaystyle S_{x}(f)}$ et ${\displaystyle S_{\epsilon }(f)}$ sont les puissances spectrales du signal d'origine et du bruit, modélisées comme des processus aléatoires indépendants. Pour un bruit blanc, ${\displaystyle S_{\epsilon }}$ est constant: ${\displaystyle S_{\epsilon }(f)=\sigma ^{2}}$.

Si le signal subit un étalement linéaire par un noyau ${\displaystyle h(t)}$, l'observation devient: ${\displaystyle y(t)=(h\star x)(t)+\epsilon (t)}$.

Le filtre de Wiener optimal prend alors en compte le noyau ${\displaystyle H(f)}$ :

${\displaystyle W(f)={\frac {H^{*}(f)\,S_{x}(f)}{|H(f)|^{2}S_{x}(f)+S_{\epsilon }(f)}}\ .}$

L'exposant ${\displaystyle {}^{*}}$ désigne la conjugaison complexe.