Fin (théorie des catégories)

Soient ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$ des catégories, et soit ${\displaystyle F:C^{\mathrm {op} }\times C\to D}$ un bifoncteur. La fin de F dans X est la donnée :

• d'un objet e de D, associé à
• une transformation extranaturelle (parfois appelées « dinaturelle ») universelle de e vers F.

Elle est notée

${\displaystyle \int _{c:C}F(c,c).}$

Si le codomaine D est une catégorie complète, alors toutes les petites limites existent et, à l'instar des limites, on peut définir la fin de F comme égalisateur du diagramme :

${\displaystyle \int _{c:C}F(c,c)\longrightarrow \prod _{c:C}F(c,c)\rightrightarrows \prod _{c,c':C}F(c,c')^{C(c,c')}}$

où le morphisme du dessus est induit par la précomposition ${\displaystyle F(c,c)\times C(c,c')\rightarrow F(c,c')}$ et celui du dessous par la postcomposition ${\displaystyle F(c',c')\times C(c,c')\rightarrow F(c,c')}$.

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