Fonction K

Formellement, la fonction K est définie comme

${\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\,\mathrm {d} t\right].}$

Ou encore

${\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}$

où ${\displaystyle \zeta '(z)}$ est la fonction dérivée de la fonction zêta de Riemann, ${\displaystyle \zeta (a,z)}$ représente la fonction zêta de Hurwitz définie par

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right]_{s=a}.}$

Une autre expression utilisant la fonction polygamma est^[1]

${\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)}$

Ou la fonction polygamma équilibrée (en)^[2]:

${\displaystyle K(z)=A\mathrm {e} ^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}}$

où A est la constante de Glaisher-Kinkelin.

On peut montrer que pour tout ${\displaystyle \alpha >0}$:

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln(\alpha )-{\frac {1}{2}}\right)}$

Preuve : Pour cela, on pose ${\displaystyle f}$ définie par : ${\displaystyle f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x}$. Après dérivation par rapport à ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle f'(\alpha )=\ln \left({\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}\right)}$.

Soit, par définition de la fonction K : ${\displaystyle f'(\alpha )=\alpha \ln(\alpha )}$. Donc ${\displaystyle f(\alpha )={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln(\alpha )-{\frac {1}{2}}\right)+C}$.

En spécialisant en ${\displaystyle \alpha =0}$, on obtient ${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x=C}$, d'où l'identité annoncée.