Fonction Q de Marcum

En statistique, la fonction Q de Marcum ${\displaystyle Q_{M}}$ est définie comme

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\int _{b}^{\infty }x\left({\frac {x}{a}}\right)^{M-1}\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{M-1}(ax)\,dx}$

ou comme

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\sum _{k=1-M}^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{k}(ab)}$

où ${\displaystyle I_{M-1}}$ désigne la fonction de Bessel modifiée d'ordre M − 1. La fonction Q de Marcum est utilisée par exemple comme fonction de répartition (plus précisément, comme fonction de survie) pour les lois du χ non centré, de χ² non centré et de Rice.

Pour les valeurs non entières de M, la fonction Q de Marcum peut être définie comme ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{M}(a,b)&=1-{\rm {e}}^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {\gamma (M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!\Gamma (M+k)}}\\[6pt]&=1-{\rm {e}}^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {P(M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!}}\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle P(s,x)}$ est la fonction gamma incomplète.

La fonction Q de Marcum est monotone et log-concave^[2] .