Fonction W de Lambert

Lambert s'est intéressé à l'équation connue sous le nom d'équation transcendante de Lambert en 1758^[1], ce qui conduisit à une note de Leonhard Euler en 1783^[2] qui discutait le cas particulier de w e^w. La première description de la fonction W semble due à George Pólya et Gábor Szegő en 1925^[3]. La fonction de Lambert fut « redécouverte » tous les dix ans environ dans des applications spécialisées, mais son importance ne fut pas vraiment appréciée avant les années 1990, lorsqu'il fut annoncé que la fonction de Lambert donnait une solution exacte aux valeurs propres de l'énergie du système quantique correspondant au modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges égales, un problème physique fondamental. Corless et d'autres développeurs du système Maple firent une recherche bibliographique et découvrirent que cette fonction apparait un peu partout dans des applications pratiques^[4].

Si nous nous limitons aux arguments réels x ≥ −1/e, il existe une fonction et une seule W₀ à valeurs réelles ${\displaystyle \geq -1}$ telle que

${\displaystyle x=f(W_{0}(x));}$ ${\displaystyle x=W_{0}(x)\mathrm {e} ^{W_{0}(x)};}$

c'est la branche principale de W dans ce domaine. La représentation graphique de W₀ figure à droite.

On note généralement W₋₁ l'autre branche à valeurs réelles, c'est-à-dire la branche correspondant aux arguments x tels que ${\displaystyle -1/\mathrm {e} \leq x<0}$, et à valeurs ${\displaystyle \leq -1}$.

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

On a W(y) e^W(y) = y, donc, si W désigne une des deux branches W₀ ou W₋₁ :

${\displaystyle \forall y\neq 0,\ \mathrm {e} ^{W(y)}={\frac {y}{W(y)}}.}$

De l'égalité de la définition, on peut déduire :

• ${\displaystyle W(-\mathrm {e} ^{-1})=-1}$ (où W désigne l'une quelconque des deux branches)
• ${\displaystyle W_{0}(x\cdot \mathrm {e} ^{x})=x,\quad }$ si x ≥ –1.
• ${\displaystyle W_{-1}(x\cdot \mathrm {e} ^{x})=x,\quad }$ si x ≤ –1.
• ${\displaystyle W(x)=\ln \left({\frac {x}{W(x)}}\right)}$ (où W désigne l'une quelconque des deux branches et x est non nul)
• ${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln(x)-W_{0}(x)}$ si x > 0^[5]
• ${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)=-\ln x\quad \left(0<x\leqslant \mathrm {e} \right)}$
• ${\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)=-\ln x\quad \left(x\geqslant \mathrm {e} \right)}$
• ${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\textrm {et}}\quad \mathrm {e} ^{W_{0}(x\ln x)}=x\quad \left(x\geqslant {\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)}$
• ${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\textrm {et}}\quad \mathrm {e} ^{W_{-1}(x\ln x)}=x\quad \left(0<x\leqslant {\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)}$

Voici quelques valeurs remarquables de W, obtenues simplement en remarquant que f(0) = 0, f(1) = e, f(–1) = –1/e, etc. :

• ${\displaystyle W_{0}(0)=0\,}$
• ${\displaystyle W_{0}(\mathrm {e} )=1\,}$
• ${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)=W_{-1}\left(-{\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)=-1\,}$
• ${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega \simeq 0,56714329\dots \,\,}$ où Ω est la constante oméga
• ${\displaystyle W_{0}(1)=\mathrm {e} ^{-W_{0}(1)}=\ln \left({\frac {1}{W_{0}(1)}}\right)=-\ln W_{0}(1)}$

On peut obtenir de même des valeurs complexes de W(x) pour certains x <  −1/e ; ainsi ${\displaystyle W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)=\pm {\frac {\mathrm {i} \pi }{2}}}$

Si W désigne une des deux branches W₀ ou W₋₁, la formule de dérivation des bijections réciproques montre que sa dérivée est :

pour ${\displaystyle \,x\neq -{\frac {1}{\mathrm {e} }},\quad W'(x)={\frac {1}{(1+W(x))\mathrm {e} ^{W(x)}}}={\frac {1}{x+\mathrm {e} ^{W(x)}}}\,}$ pour x ≠ 0 et ${\displaystyle \,x\neq -{\frac {1}{e}},\quad W'(x)={\frac {W(x)}{x(1+W(x))}},}$ ${\displaystyle W_{0}'\left(0\right)=1}$

ce qui a pour conséquence que chacune des deux branches de W satisfait l'équation différentielle :

${\displaystyle x(1+y)y'=y\quad }$ pour x ≠ −1/e.

Cette équation est d'ailleurs à variables séparables, et ses solutions sont toutes de la forme ${\displaystyle x\mapsto W_{-1}(kx)}$ (avec k ≠ 0) ou ${\displaystyle x\mapsto W_{0}(kx)}$.

La fonction W désignant une des deux branches W₀ ou W₋₁, beaucoup de fonctions impliquant W, peuvent être intégrées en utilisant le changement de variable w = W(x), i.e. x = we^w :

${\displaystyle \int W(x)\,\mathrm {d} x=xW(x)-x+\mathrm {e} ^{W(x)}+C=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C}$

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

La série de Taylor de W₀ au voisinage de 0 peut être obtenue par l'utilisation du théorème d'inversion de Lagrange^[6] et est donnée par

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\dotsb }$.

Le rayon de convergence est égal à 1/e. Cette série peut être prolongée en une fonction holomorphe définie en tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle réel ]−∞, –1/e] ; cette fonction holomorphe est aussi appelée la branche principale de la fonction W de Lambert.

Nous déduisons de la série de Taylor l'équivalent suivant de W₀(x) en 0 : ${\displaystyle W_{0}(x)\,{\underset {0}{\sim }}\,x}$

On peut calculer W₀(x) de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale w₀ égale à 1 et en calculant les termes de la suite

${\displaystyle w_{n+1}=x\mathrm {e} ^{-w_{n}}}$.

Si cette suite converge, on voit aisément que sa limite est W₀(x). On démontre que c'est en effet le cas si ${\displaystyle x\in [-\mathrm {e} ^{-1};\mathrm {e} ]}$ :

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }w_{n}=W_{0}(x).}$

Il est moins simple, mais beaucoup plus efficace, d'utiliser la méthode de Newton, partant de w₀ = 1, et posant

${\displaystyle w_{n+1}=w_{n}-{\frac {w_{n}\mathrm {e} ^{w_{n}}-x}{\mathrm {e} ^{w_{n}}+x}}\$ ;}

cette suite converge (très rapidement) vers W₀(x) pour tout ${\displaystyle x>-{\frac {1}{\mathrm {e} }}}$.

On a, pour x tendant vers ${\displaystyle +\infty }$, le développement asymptotique à trois termes suivant^[7] :

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}+O\left(\left({\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)^{2}\right).}$

On a pour x tendant vers –1/e, le développement asymptotique de W₀ :

${\displaystyle W_{0}(x)=-1+{\sqrt {2(\mathrm {e} x+1)}}+o\left({\sqrt {x+{\frac {1}{\mathrm {e} }}}}\right).}$

On peut également obtenir un développement asymptotique pour W₋₁ avec x tendant vers 0^- :

${\displaystyle W_{-1}(x)=\ln(-x)-\ln(-\ln(-x))+{\frac {\ln(-\ln(-x))}{\ln(-x)}}+O\left(\left({\frac {\ln(-\ln(-x))}{\ln(-x)}}\right)^{2}\right).}$

Summarize Timeline Fact Check

Les deux branches réelles W₀(x) et W_–1(x) de la fonction W de Lambert peuvent s'écrire de façon paramétrée.

En effet ${\displaystyle \forall x\in \left[-{\frac {1}{\mathrm {e} }},0\right]}$, il existe ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ qui permet d'écrire :${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}W_{0}(x)&=\ {\frac {\alpha \ln(\alpha )}{1-\alpha }}\\W_{-1}(x)&=\ {\frac {\ln(\alpha )}{1-\alpha }}\\x&=\ \alpha ^{\tfrac {1}{1-\alpha }}\ln \left(\alpha ^{\tfrac {1}{1-\alpha }}\right)\end{array}}\right.}$^[8]

Beaucoup d'équations impliquant des exponentielles peuvent être résolues par l'utilisation de la fonction W. La stratégie générale est de déplacer toutes les instances de l'inconnue d'un côté de l'équation et de le faire ressembler à x e^x. À ce point, la « fonction » W nous fournit les solutions :

${\displaystyle X\mathrm {e} ^{X}=Y\;\Longleftrightarrow \;X=W(Y)}$

(chaque branche différente de la « fonction » W donne une solution différente).

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Par exemple, pour résoudre l'équation 2^t = 5t, nous divisons par ${\displaystyle -{\frac {5}{\ln 2}}2^{t}}$ pour obtenir ${\displaystyle {\frac {-\ln 2}{5}}=-\ln(2)t\mathrm {e} ^{-\ln(2)t}.}$ La définition de la « fonction » W donne alors ${\displaystyle -\ln(2){t}=W\left({\frac {-\ln(2)}{5}}\right)}$, soit ${\displaystyle t=-{\frac {W(-\ln(2)/5)}{\ln(2)}}.}$

Comme ${\displaystyle -{\frac {\ln 2}{5}}<0,}$ cette formule donne deux solutions réelles : ${\displaystyle t_{0}=-{\frac {W_{0}(-\ln(2)/5)}{\ln(2)}}}$ et ${\displaystyle t_{1}=-{\frac {W_{-1}(-\ln(2)/5)}{\ln(2)}}.}$

Avec la « fonction » W de Lambert, on peut résoudre des équations du type x^x = z (avec ${\displaystyle z\geq \mathrm {e} ^{-1/\mathrm {e} }}$ et ${\displaystyle x\geq 1/\mathrm {e} }$) par :

${\displaystyle \ln z=x\ln x=\mathrm {e} ^{\ln x}\,\ln x\Longleftrightarrow \ln(x)=W(\ln z),}$

donc

${\displaystyle x=\mathrm {e} ^{W(\ln z)}\;}$
et, si ${\displaystyle z\not =1}$, ${\displaystyle \;x={\frac {\ln(z)}{W(\ln z)}}}$.

Les solutions de l'équation :

${\displaystyle x\log _{b}(x)=a}$

(avec ${\displaystyle b>0}$ et ${\displaystyle a\ln b\geq -1/\mathrm {e} }$), équivalente à ${\displaystyle x^{x}=b^{a}\,}$, sont données avec la « fonction » W de Lambert :

${\displaystyle x=\mathrm {e} ^{W(a\ln(b))}\;}$
et, si ${\displaystyle a\ln b\not =0}$, ${\displaystyle \quad x={\frac {a\ln(b)}{W(a\ln(b))}}}$

.

En général, la tour de puissances infinie ${\displaystyle x^{x^{x^{..}}}}$ converge si et seulement si ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {e} }\leq x\leq \mathrm {\mathrm {e} } ^{1/\mathrm {e} }}$.

Si r est un nombre réel avec ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-1}\leq r\leq \mathrm {e} }$ et x le nombre ${\displaystyle x=r^{1/r}}$, alors la limite de la suite définie par ${\displaystyle u_{n+1}=x^{u_{n}}}$ et ${\displaystyle u_{0}=x}$ est r :

${\displaystyle x^{x^{x^{..}}}=r}$.

Quand une tétration infinie ${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$ converge, la fonction W₀ de Lambert fournit la valeur de la limite réelle comme : ${\displaystyle r=\mathrm {e} ^{-W_{0}(-\ln x)}}$
(${\displaystyle r={\frac {W_{0}(-\ln x)}{-\ln x}}}$ si x ≠ 1).

Cela peut être étendu aux nombres complexes z avec la définition :

${\displaystyle h(z)=z^{z^{z^{.^{.^{.}}}}}=\mathrm {e} ^{-W_{0}(-\operatorname {Log} z)}=-{\frac {\mathrm {W} _{0}(-\operatorname {Log} z)}{\operatorname {Log} z}}}$

où Log z représente la branche principale de la fonction logarithme complexe.

La bijection réciproque de ${\displaystyle g:x\mapsto x+\mathrm {e} ^{x}}$ peut être obtenue explicitement : résolvant l'équation ${\displaystyle g(x)=x+\mathrm {e} ^{x}=y,}$ on remarque d'abord qu'elle équivaut, en posant ${\displaystyle X=\mathrm {e} ^{x},}$ à ${\displaystyle X\mathrm {e} ^{X}=\mathrm {e} ^{y},}$ et donc ${\displaystyle X=W_{0}(\mathrm {e} ^{y}),}$ soit :

${\displaystyle x=g^{-1}(y)=\ln W_{0}(\mathrm {e} ^{y})=y-W_{0}(\mathrm {e} ^{y}).}$

Résolution des équations de forme : ${\displaystyle ae^{x}+bx+c=0}$ avec ${\displaystyle (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{*2}\times \mathbb {R} }$ et x dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

On pose ${\displaystyle \Delta ={\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{b}}}}$, ce nombre est appelé le discriminant. Il intervient dans la détermination du nombre de solutions de l'équation.

À l'aide du changement de variable x = e^z, la résolution des équations de la forme : ${\displaystyle a\ln(x)+bx+c=0}$ avec ${\displaystyle (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{*2}\times \mathbb {R} }$ et x dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*+}}$ se déduit du cas précédent. Les solutions sont alors (en n'oubliant pas que W est multivaluée) de la forme :

${\displaystyle x=\exp \left(-{W\left(\Delta \right)}-{\frac {c}{a}}\right)}$ ,

où ${\displaystyle {\Delta ={\frac {b}{a}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{a}}}}}$.

Plus généralement, la fonction W de Lambert permet de résoudre les équations de la forme : ${\displaystyle a\lambda ^{x}+bx+c=0}$ et ${\displaystyle a\log _{\lambda }(x)+bx+c=0}$ avec ${\displaystyle \lambda >0}$ et ${\displaystyle \lambda \neq 1}$, x dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{*2}\times \mathbb {R} }$.

Il suffit pour cela de considérer une fonction ${\displaystyle W_{\lambda }}$ tel que ${\displaystyle X\lambda ^{X}=Y\Longleftrightarrow X=W_{\lambda }(Y)}$ de répéter la démonstration ci-dessus et de considérer la formule de changement de base : ${\displaystyle W_{\lambda }(x)={\frac {W(x\ln(\lambda ))}{\ln(\lambda )}}}$. On obtient alors, avec ${\displaystyle \Delta ={\frac {a}{b}}\lambda ^{-{\frac {c}{b}}}}$ :

${\displaystyle a\lambda ^{x}+bx+c=0\Leftrightarrow x=-W_{\lambda }(\Delta )-{\frac {c}{b}}=-{\frac {W(\Delta \ln(\lambda ))}{\ln(\lambda )}}-{\frac {c}{b}}}$

et avec ${\displaystyle \Delta ^{\prime }={\frac {b}{a}}\lambda ^{-{\frac {c}{a}}}}$:

${\displaystyle a\log _{\lambda }(x)+bx+c=0\Leftrightarrow x=\lambda ^{\left(-{\frac {W\left(\Delta ^{\prime }\ln(\lambda )\right)}{\ln(\lambda )}}-{\frac {c}{a}}\right)}}$

Il faut alors considérer le nombre ${\displaystyle \Delta \ln(\lambda )}$ pour déterminer la quantité de solutions des équations.

Dans la loi du déplacement de Wien : ${\displaystyle \sigma _{w}=T\cdot \lambda _{\mathrm {max} }=2,898\cdot 10^{-3}\;\mathrm {m\cdot K} }$. La constante de Wien, noté ${\displaystyle \sigma _{w}}$ peut être déterminée explicitement à l'aide de la fonction ${\displaystyle W}$ de Lambert.

Elle vaut : ${\displaystyle \sigma _{w}={\frac {1}{5+W_{0}(-5e^{-5})}}{\frac {hc}{k_{\mathrm {B} }}}}$, avec ${\displaystyle h}$ la constante de Planck, ${\displaystyle c}$ la vitesse de la lumière dans le vide et ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ la constante de Boltzmann.

La solution pour connaître la valeur du courant dans un circuit en série de diode/résistance peut être donnée par la fonction W de Lambert. Voir la modélisation d'une diode (en).

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}(x)\right)\sec ^{2}(x)\;\mathrm {d} x=4{\sqrt {\pi }}}$ (intégrale de Gauss en coordonnées polaires)

On obtient alors par changements de variable les égalités remarquables :

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {2\pi }}.}$

• Représentation de la partie réelle, de la partie imaginaire et du module de la fonction W de Lambert dans le plan complexe
• 
  ${\displaystyle \scriptstyle z=\Re (W_{0}(x+{\rm {i}}y))}$
• 
  ${\displaystyle \scriptstyle z=\Im (W_{0}(x+{\rm {i}}y))}$
• 
  ${\displaystyle \scriptstyle z=|W_{0}(x+{\rm {i}}y)|}$
• 
  Les trois fonctions réunies