Fonction bêta

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Dans sa définition sous forme d'intégrale, le changement de variable u = 1 – t prouve que cette fonction est symétrique c'est-à-dire que :

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)}$.

Elle peut prendre aussi les formes intégrales

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta ~\cos ^{2y-1}\theta ~\mathrm {d} \theta }$ (par le changement de variable ${\displaystyle t=\sin ^{2}\theta }$),

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {s^{y-1}}{(1+s)^{x+y}}}~\mathrm {d} s}$ (par le changement de variable ${\displaystyle t={\dfrac {1}{1+s}}}$).

Elle satisfait des équations fonctionnelles telles que :

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y+1)={y \over x+y}\mathrm {B} (x,y)}$,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)~\mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}}}$,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,x)=2^{1-2x}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},x\right)}$.

Elle est liée à la fonction gamma par l'équation suivante^[1] :

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$.

Si x et y sont des entiers strictement positifs, cette équation se réécrit, en termes de factorielles ou de coefficient binomial : ${\displaystyle {\frac {x+y}{xy\mathrm {B} (x,y)}}={\frac {(x+y)!}{x!~y!}}={x+y \choose x}}$.

Si x et y sont deux rationnels et si ni x, ni y, ni x + y ne sont entiers, alors Β(x, y) est un nombre transcendant^[2].

La formule de Stirling donne l'équivalent asymptotique

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y){\underset {\begin{cases}x\rightarrow +\infty \\y\rightarrow +\infty \end{cases}}{\sim }}{\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}$

et pour y fixé,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y){\underset {x\rightarrow +\infty }{\sim }}\Gamma (y)\,x^{-y}.}$

Summarize Timeline Fact Check

Les dérivées partielles de la fonction bêta utilisent les équations fonctionnelles vues précédemment :

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),}$

${\displaystyle {\partial \over \partial y}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (y)-\psi (x+y))}$

où ψ(x) est la fonction digamma.

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left[(\psi (x)-\psi (x+y))^{2}+(\psi _{1}(x)-\psi _{1}(x+y))\right],}$

${\displaystyle {\partial ^{2} \over {\partial x\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left[(\psi (x)-\psi (x+y))(\psi (y)-\psi (x+y))-\psi _{1}(x+y)\right],}$

où ψ_n(x) est la fonction polygamma.

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

La fonction bêta incomplète est définie par :

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t}$

et vérifie trivialement^[3] :

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a+1,b)+\mathrm {B} (x;\,a,b+1)=\mathrm {B} (x;\,a,b)\quad {\rm {et}}\quad x^{a}(1-x)^{b}=a\mathrm {B} (x;\,a,b+1)-b\mathrm {B} (x;\,a+1,b).}$

Pour x = 1, elle correspond à la fonction bêta de paramètres a et b.

La fonction bêta incomplète régularisée consiste à diviser la fonction bêta incomplète par la fonction bêta complète

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}$

Les relations précédentes deviennent ainsi^[4]

${\displaystyle aI_{x}(a+1,b)+bI_{x}(a,b+1)=(a+b)I_{x}(a,b),\quad I_{x}(a,b+1)-I_{x}(a+1,b)=x^{a}(1-x)^{b}{\frac {a+b}{ab\mathrm {B} (a,b)}}.}$

On déduit de la seconde (par une récurrence immédiate) le lien suivant avec le développement binomial et la loi binomiale^[4] : ${\displaystyle I_{p}(a,n-a+1)=\sum _{j=a}^{n}{n \choose j}p^{j}(1-p)^{n-j}.}$

Summarize Timeline Fact Check

La fonction bêta intervient dans le calcul du volume ${\displaystyle V_{n}}$ de la boule unité de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ : on a en effet ${\displaystyle V_{n}=V_{n-1}\times \mathrm {B} \left({\frac {n-1}{2}}+1,{\frac {1}{2}}\right)=V_{n-1}\times {\frac {\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}+1\right)\,}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}{\sqrt {\pi }}}$, ce qui permet d'obtenir ${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}.}$

La fonction bêta apparait également dans le calcul et la représentation de l'amplitude de diffraction dans les trajectoires de Regge (en). De plus, c'est la première amplitude de diffraction connue en théorie des cordes, conjecturé (en) pour la première fois par Gabriele Veneziano. Elle apparait également dans la théorie des processus d'attachement préférentiel (en), un type de problème d'urne stochastique. La fonction bêta est aussi importante en statistique, e.g. pour les lois bêta et bêta prime. Elle joue aussi un rôle important en analyse par son lien proche avec la fonction Gamma.