Cet espace vectoriel des fonctions centrales sur G à valeurs dans K est par ailleurs naturellement isomorphe à l'espace KC, où C désigne l'ensemble des classes de conjugaison de G.
Exemples
Sur un groupe abélien, toute fonction est centrale. En effet, les classes de conjugaison sont alors les singletons.
Si G est un groupe compact, on note λ sa mesure de Haar définie comme l'unique mesure de probabilité invariante par translation à gauche, et L2(G) l'espace de Hilbert des fonctions complexes mesurables sur G et de carré λ-intégrable. Cet espace peut être muni:
d'un produit associatif et distributif d'élément neutre la fonction constante égale à 1, le produit de convolution, défini par:
Cette relation transparait dans l'étude du centre de L2(G). En effet, un calcul direct donne pour toutes fonctions mesurables f et g de carré intégrable:
Une fonction f appartient au centre de L2(G) si et seulement si pour toute fonction g∊L2(G), les convoluées f∗g et g∗f sont égales presque partout, donc partout car elles sont continues. De fait, cela équivaut à ce que pour presque tous u et v dans G, on a: f(uv)=f(vu).
Le centre de L2(G) est donc le sous-espace vectoriel fermé des (classes de) fonctions centrales mesurables sur G et de carré intégrable.
![{\displaystyle f*g(s)-g*f(s)=\int _{G}g(t^{-1}).\left[f(st)-f(ts)\right]~\mathrm {d} \lambda (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01a0e4f3e1c77fd68d7d3e89fb72aac1a3b85f8)
![{\displaystyle \chi _{\rho }(s)=Tr\left[\rho (s)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4384e2992b1b9bc6d5cdbc1dfb31f992f1c1c0f0)
