Fonction de Mittag-Leffler

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Graphe de quatre fonctions de Mittag-Leffler E_α1.

En mathématiques, la fonction de Mittag-Leffler, notée $E_{\alpha \beta }$ qui tient son nom du mathématicien Gösta Mittag-Leffler, est une fonction spéciale, c’est-à-dire qui ne peut être calculée à partir d'équations rationnelles, qui s'applique dans le plan complexe et dépend de deux paramètres complexes $\alpha$ et $\beta$ . La fonction est définie pour $\alpha >0$ :

E_{\alpha \beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over \Gamma (\alpha k+\beta )}

.

Dans ce cas, la série converge pour toute valeur d'argument z, ce qui fait de la fonction une fonction entière.

On désigne également la fonction $E α (z) = E α 1 (z)$ comme fonction de Mittag-Leffler.

Pour $α = 0$ , on reconnait la somme de la série géométrique :

E_{0}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}},\,|z|<1.

Pour $α = 1$ et $β = 1$ , on reconnait la série exponentielle :

E_{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).

On en déduit les égalités :

E_{2,1}(z)=\cosh({\sqrt {z}}),\ E_{2,1}(-z^{2})=\cos(z).

Pour $β = 2$ , on a

E_{1,2}(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}-1}{z}},\ E_{2,2}(z)={\frac {\sinh({\sqrt {z}})}{\sqrt {z}}}.

La fonction d'erreur est un cas particulier de la fonction de Mittag-Leffler :

w(z)=\exp(-z^{2}){\mbox{erfc}}(-\mathrm {i} z)=E_{1/2}(\mathrm {i} z).

On peut également exprimer $E α$ comme une fonction hyperbolique généralisée :

E_{\alpha }(z^{n})=F_{\alpha ,0}^{1}(z)

Pour $\alpha =0,1,2$ , on a les égalités intégrales

\int _{0}^{z}E_{0}(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s=\arctan(z)

\int _{0}^{z}E_{1}(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s={\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (z)

\int _{0}^{z}E_{2}(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s=\sin(z)

Propriétés

La fonction de Mittag-Leffler vérifie la propriété de récurrence^[1]

E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{z}}E_{\alpha ,\beta -\alpha }(z)-{\frac {1}{z\Gamma (\beta -\alpha )}},

pour lequel on tire le développement asymptotique de Poincaré : pour $0<\alpha <2$ et $\mu$ réel tel que ${\frac {\pi \alpha }{2}}<\mu <\min(\pi ,\alpha \pi )$ , alors pour $N\in \mathbb {N} ^{*},N\neq 1$ on a (Section 6. de ^[1]):