Fonction de Morse

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En analyse, une fonction de Morse est une fonction différentiable de classe au moins ${\mathcal {C}}^{2}$ dont les points critiques sont non dégénérés. La notion fut introduite par Marston Morse en 1925^[1]. En topologie différentielle, l'utilisation des fonctions de Morse s'est avérée centrale dans la preuve du théorème du h-cobordisme (en).

Soit $f$ une fonction numérique de classe au moins ${\mathcal {C}}^{2}$ définie soit sur un ouvert $U$ de $\mathbb {R} ^{n}$ soit sur une variété différentielle $M$ .

Définitions :

Un point $x$ du domaine de $f$ est dit être un point critique de la fonction $f$ si la différentielle de $f$ est nulle en $x$ , i.e. si $\mathrm {d} f|_{x}=0$ .
Un point critique $x$ de $f$ est dit non dégénéré si la hessienne de $f$ en $x$ est non dégénérée.
La fonction $f$ est dite fonction de Morse si ses points critiques sont tous non dégénérés.
L'indice de Morse $\mathrm {ind} (x)$ d'un point critique $x$ d'une fonction de Morse $f$ est le nombre de valeurs propres négatives de la hessienne de $f$ en $x$ .

Propriétés des fonctions de Morse

En vertu du lemme de Morse, autour de tout point critique $x$ d'une fonction de Morse $f$ , il existe un voisinage ouvert $U$ de $x$ et un système de coordonnées locales $\{y_{i}\}_{i=1,...,n}$ sur $U$ tel que pour tout $y\in U$ on ait :

f(y)=f(x)-\sum _{i=1}^{\mathrm {ind} (x)}y_{i}^{2}+\sum _{i=\mathrm {ind} (x)+1}^{n}y_{i}^{2}

Ceci implique, en particulier, que les points critiques d'une fonction de Morse sont des points isolés.

Généricité des fonctions de Morse

Sur une variété différentielle $M$ , il existe une panoplie de fonctions de Morse. En effet, l'ensemble des fonctions de Morse lisses sur $M$ forme un sous-ensemble ouvert et dense dans l'espace ${\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$ des fonctions réelles lisses sur $M$ ^[2].

Fonction de Morse

Propriétés des fonctions de Morse

Généricité des fonctions de Morse

Références

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