Fonction de Riccati-Bessel

En analyse, les fonctions de Riccati–Bessel sont des fonctions spéciales construites à partir des fonctions de Bessel classiques, qui apparaissent en mécanique quantique dans la résolution de l'équation de Schrödinger avec une barrière cylindrique infinie hypothétique^[1]. Elles vérifient l'équation différentielle : $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Elles sont définies par :

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-\mathrm {i} C_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+\mathrm {i} C_{n}(x)\end{aligned}}}$

Avec les travaux de Peter Debye^[2],[3], on note parfois ψ_n et χ_n au lieu de S_n et C_n respectivement.