Fonction de partition de Kostant

Considérons le système de racines de type A₂, dont on note ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ et ${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$ les racines positives. Si un élément ${\displaystyle \mu }$ peut être exprimé comme une combinaison linéaire à coefficients entiers naturels de ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, et ${\displaystyle \alpha _{3}}$, alors, vu que ${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$, il peut également être exprimé comme une combinaison linéaire entière positive de ${\displaystyle \alpha _{1}}$ et ${\displaystyle \alpha _{2}}$ :

${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$

avec ${\displaystyle n_{1}}$ et ${\displaystyle n_{2}}$ étant des entiers naturels. Cette expression donne une façon d'écrire ${\displaystyle \mu }$ comme une combinaison entière à coefficients entiers naturels de racines positives ; d'autres expressions peuvent être obtenues en remplaçant ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}$ par ${\displaystyle \alpha _{3}}$ un certain nombre de fois. On peut faire cette substitution ${\displaystyle k}$ fois, où ${\displaystyle 0\leq k\leq \mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$. Ainsi, en notant ${\displaystyle p}$ la fonction de partition de Kostant, on obtient la formule

${\displaystyle p(n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2})=1+\mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$ .

Ce résultat est représenté graphiquement sur l'image ci-contre. Bien sûr, si un élément ${\displaystyle \mu }$ n'est pas de la forme ${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$, alors ${\displaystyle p(\mu )=0}$.

Pour chaque racine ${\displaystyle \alpha }$ et chaque ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$, on peut appliquer formellement la formule de la somme d'une série géométrique pour obtenir

${\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-\alpha (H)}}}=1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+\cdots }$

où l'on ne se soucie pas de la convergence, c'est-à-dire que l'égalité est comprise au niveau des séries de puissances formelles. En utilisant la formule du dénominateur de Weyl

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}=e^{\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha (H)})},}$

on obtient une expression formelle de l'inverse du dénominateur de Weyl^[3] :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}&{}=e^{-\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+e^{-3\alpha (H)}+\cdots )\\&{}=e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}.\end{aligned}}}$

Ici, la première égalité consiste à prendre le produit sur toutes les racines positives de la formule de la série géométrique et la seconde égalité consiste à compter toutes les façons dont une exponentielle donnée ${\displaystyle e^{\mu (H)}}$ peut apparaître dans le produit.

Cet argument montre que l'on peut réécrire la formule des caractères de Weyl pour la représentation irréductible de plus haut poids ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)={\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)} \over \sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}$

et la transformer de quotient en produit :

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left(\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)}\right)\left(e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\right).}$

En utilisant la réécriture précédente de la formule des caractères, il est relativement facile d'écrire le caractère comme une somme d'exponentielles. Les coefficients de ces exponentielles sont les multiplicités des poids correspondants. On obtient ainsi une formule pour la multiplicité d'un poids donné ${\displaystyle \mu }$ dans la représentation irréductible de plus haut poids ${\displaystyle \lambda }$^[4] :

${\displaystyle \mathrm {mult} (\mu )=\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}p(w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho ))}$.

Ce résultat est la formule de multiplicité de Kostant.

Le terme dominant dans cette formule est le terme correspondant à ${\displaystyle w=1}$ ; la contribution de ce terme est ${\displaystyle p(\lambda -\mu )}$, qui est juste la multiplicité de ${\displaystyle \mu }$ dans le module de Verma de plus haut poids ${\displaystyle \lambda }$ . Si ${\displaystyle \lambda }$ est suffisamment loin des murs à l'intérieur de la chambre fondamentale de Weyl et si ${\displaystyle \mu }$ est suffisamment proche de ${\displaystyle \lambda }$, il peut arriver que tous les autres termes de la formule soient nuls. Plus précisément, à moins que ${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )}$ ne soit plus grand que ${\displaystyle \mu +\rho }$, la valeur de la fonction de partition de Kostant en ${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho )}$ est nulle. Ainsi, bien que la somme porte initialement sur tout le groupe de Weyl, dans la plupart des cas, le nombre de termes non nuls est inférieur à l'ordre du groupe de Weyl.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kostant partition function » (voir la liste des auteurs).

• Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, vol. 222, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 2015 (ISBN 978-3319134666)
• James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, 1972a (ISBN 978-0-387-90053-7, lire en ligne )
• Bertram Kostant, « A formula for the multiplicity of a weight », Proceedings of the National Academy of Sciences, National Academy of Sciences, vol. 44, n^o 6,‎ 1958, p. 588-589 (ISSN 0027-8424, PMID 16590246, PMCID 528626, DOI 10.1073/pnas.44.6.588 , JSTOR 89667, Bibcode 1958PNAS...44..588K, MR 0099387)
• Bertram Kostant, « A formula for the multiplicity of a weight », Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, vol. 93, n^o 1,‎ 1959, p. 53-73 (ISSN 0002-9947, DOI 10.2307/1993422 , JSTOR 1993422, MR 0109192)

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