Fonction exponentielle p-adique

La série entière

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},}$

converge pour x dans ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ satisfaisant ${\displaystyle |x|_{p}<1}$, et définit ainsi la fonction logarithmique p-adique ${\displaystyle \log _{p}(z)}$ pour ${\displaystyle |z-1|_{p}<1}$, vérifiant ${\displaystyle \log _{p}(zz')=\log _{p}(z)+\log _{p}(z')}$. La fonction ${\displaystyle \log _{p}}$ peut être étendue à l'ensemble des éléments non nuls de ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ en imposant ${\displaystyle \log _{p}(p)=0}$. Plus précisément, chaque élément ${\displaystyle w}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}^{*}}$ peut s'écrire ${\displaystyle w=p^{r}\cdot \zeta \cdot z}$ avec r un nombre rationnel, ζ une racine de l'unité, et |z − 1| p < 1^[1], auquel cas ${\displaystyle \log _{p}(w)=\log _{p}(z)}$. Ce prolongement est parfois appelé logarithme d'Iwasawa pour souligner le choix du ${\displaystyle \log _{p}(p)=0}$. En fait, il existe un prolongement du logarithme de ${\displaystyle |z-1|_{p}<1}$ à tout ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}^{*}}$ pour chaque choix de ${\displaystyle \log _{p}(p)}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$^[2].

Si les exponentielles p-adique de z et w sont définies, alors celle de leur somme l'est aussi et on a : ${\displaystyle \exp _{p}(z+z')=\exp _{p}(z)\cdot \exp _{p}(z')}$.

Pour z dans le domaine de définition de ${\displaystyle \exp _{p}}$, on ${\displaystyle \exp _{p}(\log _{p}(1+z))=1+z}$ et ${\displaystyle \log _{p}(\exp _{p}(z))=z}$.

Les racines du logarithme d'Iwasawa ${\displaystyle \log _{p}(z)}$ sont exactement les éléments de ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ de la forme p^r·ζ où r est un nombre rationnel et ζ une racine de l'unité^[3].

Notons qu'il n'existe pas d'analogue p-adique de l'identité d'Euler ${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$. C'est un corollaire du théorème de Strassmann (en).

Une dernière différence fondamentale avec le cas complexe est que le domaine de convergence de ${\displaystyle \exp _{p}}$ est bien plus petit que celui de ${\displaystyle \log _{p}}$. Une fonction exponentielle modifiée — la fonction exponentielle d'Artin–Hasse (en) — converge sur ${\displaystyle |z|_{p}<1}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « p-adic exponential function » (voir la liste des auteurs).

• Chapitre 12 de J. W. S. Cassels, Local fields, Cambridge University Press, coll. « London Mathematical Society Student Texts », 1986 (ISBN 0-521-31525-5)
•  Henri Cohen, Number theory, Volume I: Tools and Diophantine equations, vol. 239, New York, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 2007 (ISBN 978-0-387-49922-2, DOI 10.1007/978-0-387-49923-9, MR 2312337)

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