J-invariant

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On travaille dans le plan projectif complexe ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$. Soient quatre points distincts ${\displaystyle a,b,c,d}$, leur birapport est :

${\displaystyle (a,b,c,d)={\frac {a-c}{a-d}}\cdot {\frac {b-d}{b-c}}}$

Cette quantité est invariante par homographies du plan, mais dépend de l'ordre des quatre nombres considérés.

Par exemple, le birapport de ${\displaystyle (m,1,0,\infty )}$ peut valoir, selon l'ordre considéré :

${\displaystyle m,1/m,1-m,1-1/m,1/(1-m),m/(m-1)}$

Si on cherche à symétriser cette expression, on obtient une quantité qui reste un invariant des transformations projectives, mais ne dépend plus de l'ordre des nombres :

${\displaystyle j(m)={\frac {4}{27}}{\frac {(1-m+m^{2})^{3}}{m^{2}(1-m)^{2}}}}$

que l'on appelle le j-invariant. Cette invariance est un premier indice du lien entre le j-invariant et le groupe modulaire.

Soit X une courbe elliptique non singulière sur ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$, de forme de Weierstrass :

${\displaystyle X:y^{2}=x^{3}+q_{2}x+q_{3}}$

ayant pour discriminant ${\displaystyle \Delta =-4q_{2}^{3}-27q_{3}^{2}\neq 0}$.

Le j-invariant associé est

${\displaystyle j=1728{\frac {-4q_{2}^{3}}{\Delta }}}$

Le j-invariant est une application surjective, qui donne une bijection entre les classes d'isomorphismes des courbes elliptiques sur le plan complexe et les nombres complexes.

La notion de j-invariant se généralise aux courbes trigonales.

• (en) John Horton Conway et Simon Norton, « Monstrous moonshine », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 11, n^o 3,‎ 1979, p. 308–339 (DOI 10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399)
• (it) Felix Klein, « Sull' equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado [per funzioni ellittiche]. », Reale Istituto Lombardo, Rendiconto, Ser, vol. 10, n^o 2,‎ 1877
• (de) Felix Klein, « Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades », Math. Ann., vol. 14,‎ 1878-1879, p. 111-172
• (en) Andrew Ogg, « Modular Functions », dans The Santa Cruz Conference on Finite Groups 1979, Amer. Math. Soc., 1980, p. 521-532
• (en) Tito Piezas III et Eric Weisstein. j-Function, MathWorld

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