Plan projectif complexe

Les nombres de Betti du plan projectif complexe sont

1, 0, 1, 0, 1, 0, 0...

c'est-à-dire, 0 en dimensions impaires et 1 en dimensions paires jusqu'à ${\displaystyle 2n=4}$, puis 0 au-delà.

L'homologie en dimension 2 est représentée par la classe de la droite projective complexe, ou sphère de Riemann, située dans le plan.

Les groupes d'homotopie sans torsion du plan projectif complexe sont ${\displaystyle \pi _{2}=\pi _{5}=\mathbb {Z} }$ ; l'ensemble ${\displaystyle \pi _{0}}$ est réduit à un point, le groupe fondamental ${\displaystyle \pi _{1}}$ et les groupes ${\displaystyle \pi _{3}}$ et ${\displaystyle \pi _{4}}$ sont triviaux ; les groupes d'homotopie ${\displaystyle \pi _{k}}$ pour k > 6 (et k ≠ 9) sont ceux de la 5-sphère, c'est-à-dire de torsion.

En géométrie birationnelle, on appelle surface rationnelle complexe toute variété algébrique de dimension 2 qui est birationnellement équivalente au plan projectif complexe. On sait que toute variété rationnelle non singulière est obtenue à partir du plan par une suite d'éclatements (« blow up ») et de leurs inverses (« blowing down ») de courbes, lesquelles doivent être d'un type très particulier. Par exemple, on obtient une quadrique complexe lisse dans ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {C} )}$ en éclatant deux points en des droites projectives, puis en contractant la droite qui relie ces deux points ; l'inverse de cette transformation peut être vue de la façon suivante : on choisit un point ${\displaystyle P}$ sur la quadrique, on l'éclate, puis on effectue une projection centrale de pôle ${\displaystyle P}$ sur un plan générique de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {C} )}$.

Le groupe des automorphismes birationnels du plan projectif complexe est appelé groupe de Cremona.