Fonction porte

La fonction porte ${\displaystyle \Pi }$, définie sur les réels et à valeurs dans ${\displaystyle \{0,1\}}$, est définie par :

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \quad \Pi (t)={\begin{cases}1&{\text{si }}-1/2\leq t\leq 1/2\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$

Par généralisation, on appelle également fonction porte toute fonction déduite par translation et/ou dilatation de la fonction définie ci-dessus. Les notations varient.

La fonction porte peut s'exprimer à l'aide de la fonction de Heaviside par :

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \quad \Pi (t)=H\left(t+{\frac {1}{2}}\right)-H\left(t-{\frac {1}{2}}\right)}$.

On peut translater la fonction porte en additionnant ou en soustrayant à t un facteur de translation (attention : la soustraction induit un retard et l'addition induit un avancement par rapport à 0).

On peut élargir la porte de [–1/2, 1/2] à [–a/2, a/2] en divisant t par a dans l'expression de la porte originale.

La dérivée de la fonction porte au sens des distributions s'exprime avec la fonction de Dirac ${\displaystyle \delta (t+1/2)-\delta (t-1/2)}$.

Ses primitives sont des fonctions d'écrêtage :

${\displaystyle \int \Pi (t)\mathrm {d} t=\max(-{\frac {1}{2}},\min(x,{\frac {1}{2}}))+k={\begin{cases}k&{\text{ si }}x\leqslant -{\frac {1}{2}}\\x+k&{\text{ si }}|x|\leqslant {\frac {1}{2}}\\1+k&{\text{ si }}x\geqslant {\frac {1}{2}}\\\end{cases}}}$

La transformée de Fourier de la fonction porte définie ci-dessus est un sinus cardinal :

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Pi )(f)=\mathrm {sinc} (\pi f)}$^[1].