Fonction tau de Ramanujan

La fonction tau de Ramanujan, étudiée par Srinivasa Ramanujan, est la fonction ${\displaystyle \tau$ définie par l'identité suivante :

\sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}\left(1-q^{n}\right)^{24}=q\phi (q)^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),

où $q = exp(2 πiz)$ avec $Im z > 0$ , $\phi$ est la fonction d'Euler, $η$ est la fonction êta de Dedekind, et la fonction $Δ(z)$ est une forme parabolique de poids 12 et de niveau 1, connue sous le nom de forme modulaire discriminant. Elle apparaît être en relation avec un « terme d'erreur » impliqué dans le comptage du nombre de façons d'exprimer un entier comme une somme de 24 carrés. Une formule due à Ian G. Macdonald a été donnée dans Dyson 1972.

Les premières valeurs de la fonction tau sont données dans le tableau suivant (suite A000594 de l'OEIS) :

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$τ (n)$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

Les conjectures de Ramanujan

Ramanujan (1916) remarque, sans le démontrer, les propriétés suivantes sur $τ (n)$ :

$τ (mn) = τ (m) τ (n)$ si $pgcd(m, n) = 1$ (ce qui signifie que $τ (n)$ est multiplicative)
$τ (p r + 1) = τ (p) τ (p r) - p 11 τ (p r - 1)$ pour $p$ premier et $r > 0$ .
$| τ (p)| \leq 2 p 11/2$ pour tout premier $p$ .

Les deux premières propriétés ont été prouvées par Mordell (1917) et la troisième, appelée la conjecture de Ramanujan, a été prouvée par Deligne en 1974 à la suite de sa preuve des conjectures de Weil (plus précisément, il l'a déduite en les appliquant à une variété de Kuga-Sato).

Congruences pour la fonction tau

Pour $\mathbb {Z}$ et $\mathbb {Z}$ , définissons $σ k (n)$ comme la somme des $k$ ièmes puissances des diviseurs de $n$ . La fonction tau satisfait plusieurs relations de congruence ; beaucoup d'entre elles peuvent être exprimées en termes de $σ k (n)$ . En voici quelques-unes^[1] :

$\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ pour }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8$ ^[2]
$\tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ pour }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8$ ^[2]
$\tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ pour }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8$ ^[2]
$\tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ pour }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8$ ^[2]
$\tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ pour }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3$ ^[3]
$\tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ pour }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3$ ^[3]
$\tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ pour }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5$ ^[4]
$\tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ pour }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7$ ^[5]
$\tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ pour }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7$ ^[5]
$\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.$ ^[6]

Pour $p \neq 23$ premier, on a ^[1]^,^[7]

$\tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ si }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1$
$\tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ si }}p{\text{ est de la forme }}a^{2}+23b^{2}$ ^[8]
$\tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ sinon}}.$

Conjectures sur τ(n)

Supposons que $f$ soit une nouvelle forme (en) entière de poids $k$ telle que ses coefficients de Fourier $a (n)$ soient entiers. Soit le problème :

Étant donné que

f

n'a pas de multiplication complexe, est-ce que pour presque tous nombres premiers

p

, on a

a (p) ≢ 0 (mod p)

?

En effet, la plupart des nombres premiers devraient avoir cette propriété, et sont par conséquent dits ordinaires. Malgré les grandes avancées de Deligne et Serre sur les représentations galoisiennes, qui déterminent $a (n) (mod p)$ pour $n$ premier à $p$ , on ne sait pas comment calculer $a (p) (mod p)$ . Le seul théorème à cet égard est le célèbre résultat d'Elkies pour les courbes elliptiques modulaires, qui garantit qu'il existe une infinité de nombres premiers $p$ tels que $a (p) = 0$ , qui sont donc congrus à 0 modulo $p$ . Il n'existe pas d'exemples connus de $f$ sans multiplication complexe de poids supérieur à 2 pour lequel $a (p) ≢ 0 (mod p)$ pour une infinité de nombres premiers $p$ (bien que cela devrait être vrai pour presque tout $p$ ). Il n'y a pas non plus d'exemples connus avec $a (p) \equiv 0 (mod p)$ pour une infinité de $p$ . Certains chercheurs avaient commencé à douter que $a (p) \equiv 0 (mod p)$ pour une infinité de $p$ . Les seules solutions jusqu'à 10¹⁰ de l'équation $τ (p) \equiv 0 (mod p)$ sont 2, 3, 5, 7, 2411 et 7 758 337 633 suite A007659 de l'OEIS^[9].

Lehmer (1947) a conjecturé que $τ (n) \neq 0$ pour tout $n$ . Lehmer a vérifié sa conjecture jusqu'à 214 928 639 999 (Apostol 1997, p. 22). Le tableau suivant récapitule l'avancée de la borne supérieure $n \leq N$ connue.

$N$	référence
3 316 799	Lehmer (1947)
214 928 639 999	Lehmer (1949)
1 000 000 000 000 000	Serre (1973, p. 98), Serre (1985)
1 213 229 187 071 998	Jennings (1993)
22 689 242 781 695 999	Jordan et Kelly (1999)
22 798 241 520 242 687 999	Bosman (2007)
982 149 821 766 199 295 999	Zeng et Yin (2013)
816 212 624 008 487 344 127 999	Derickx, van Hoeij, et Zeng (2013)

Notes

1 2 Page 4 of Swinnerton-Dyer 1973
1 2 3 4 Due to Kolberg 1962
1 2 Dû à Ashworth 1968
↑ Due to Lahivi
1 2 Due to D. H. Lehmer
↑ Dû à Ramanujan 1916
↑ Dû à Wilton 1930
↑ Due to J.-P. Serre 1968, Section 4.5
↑ N. Lygeros and O. Rozier, « A new solution for the equation $\tau (p)\equiv 0{\pmod {p}}$ », Journal of Integer Sequences, vol. 13,‎ 2010, Article 10.7.4 (lire en ligne)

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ramanujan tau function » (voir la liste des auteurs).

T. M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 1997
M. H. Ashworth, Congruence and identical properties of modular forms (D. Phil. Thesis, Oxford), 1968
F. J. Dyson, Missed opportunities, vol. 78, 1972, 635–652 p. (DOI 10.1090/S0002-9904-1972-12971-9, zbMATH 0271.01005)
O. Kolberg, Congruences for Ramanujan's function τ(n),‎ 1962 (MR 0158873, zbMATH 0168.29502)
D.H. Lehmer, The vanishing of Ramanujan's function τ(n), vol. 14,‎ 1947, 429–433 p. (DOI 10.1215/s0012-7094-47-01436-1, zbMATH 0029.34502)
N. Lygeros, A New Solution to the Equation τ(p) ≡ 0 (mod p), vol. 13,‎ 2010, Article 10.7.4 (lire en ligne)
Louis J. Mordell, On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions., vol. 19, 1917, 117–124 p. (JFM 46.0605.01, lire en ligne)
M. Newman, A table of τ (p) modulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067, National Bureau of Standards,‎ 1972
Robert A. Rankin, Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Boston, MA, Academic Press, 1988, 245–268 p. (ISBN 978-0-12-058560-1, MR 938968, lire en ligne), « Ramanujan's tau-function and its generalizations »
Srinivasa Ramanujan, On certain arithmetical functions, vol. 22, 1916, 159–184 p. (MR 2280861)
J-P. Serre, Une interprétation des congruences relatives à la fonction $\tau$ de Ramanujan, vol. 14, 1968 (lire en ligne)
H. P. F. Swinnerton-Dyer, Modular functions of one variable, III, vol. 350, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 1973, 1–55 p. (ISBN 978-3-540-06483-1, DOI 10.1007/978-3-540-37802-0, MR 0406931)
J. R. Wilton, Congruence properties of Ramanujan's function τ(n), vol. 31,‎ 1930, 1–10 p. (DOI 10.1112/plms/s2-31.1.1)

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