Fonction totient de Jordan

La fonction J_k est multiplicative et vaut

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right),}$

où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n.

On peut définir plus généralement J_k pour tout réel k non nul et même pour « presque » tout complexe k, par la même formule^[1].

La formule

${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}}$

se réécrit^[2] en termes de la convolution de Dirichlet, de la fonction constante 1(n) = 1 et de la fonction puissance Id_k(n) = n^k

${\displaystyle J_{k}*{\mathbf {1} }={\rm {Id}}_{k}}$

ou encore, par inversion de Möbius

${\displaystyle J_{k}=\mu *{\rm {Id}}_{k}}$

ce qui justifie le qualificatif de « totient » pour J_k.

Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative^[3] — or Id_k et l'inverse 1 de μ sont complètement multiplicatives.

Cela permet par ailleurs d'étendre la définition de J_k à tout nombre complexe k : par exemple J₀ = δ₁^{[réf. souhaitée]}.

Comme la série de Dirichlet génératrice de la fonction de Möbius μ est 1/ζ(s) et celle de Id_k est ζ(s – k), on en déduit celle de J_k :

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}.}$

Un ordre moyen de J_k(n) est ${\displaystyle {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}.}$

La fonction psi de Dedekind (en) est

${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}.}$

Ses généralisations, les fonctions multiplicatives J_k/J₁ et J_2k/J_k, sont encore à valeurs dans ℕ* car elles coïncident, sur les puissances de nombres premiers, avec des produits de polynômes cyclotomiques.

Formule de Gegenbauer^[4] :

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n).}$