Fonction à dérivée faible

Soit u une fonction dans l'espace de Lebesgue L¹([a , b]). On dit que ${\displaystyle v\in L^{1}([a,b])}$ est une dérivée faible de u si,

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt}$

pour toute fonction infiniment différentiable φ telle que φ(a) = φ(b) = 0. Cette définition est motivée par la technique d'intégration par parties.

Généralisation aux dimensions supérieures

Si u et v sont dans l'espace L1
loc(U) des fonctions localement intégrables pour certains ensembles ouverts ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, et si α est un multi-indice, on dit que v est la dérivée faible d'ordre α de u si

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi ,}$

pour tout ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$, c’est-à-dire pour toutes les fonctions infiniment différentiables φ avec support compact dans U. Ici D^αφ est défini comme

${\displaystyle \qquad D^{\alpha }\varphi ={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

Si ${\displaystyle u}$ a une dérivée faible, il est souvent écrit ${\displaystyle D^{\alpha }u}$ puisque les dérivées faibles sont uniques (au moins, jusqu'à un ensemble de mesure zéro, voir ci-dessous).

• La fonction valeur absolue ${\displaystyle u:[-1,1]\rightarrow [0,1],\;u(t)=|t|}$, qui n'est pas différentiable à ${\displaystyle t=0}$, a une dérivée faible v connue sous le nom de fonction signe donné par

${\displaystyle v\colon [-1,1]\to [-1,1];\quad t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}t>0;\\0,&{\mbox{si }}t=0;\\-1,&{\mbox{si }}t<0.\end{cases}}}$

Ce n'est pas la seule dérivée faible de ${\displaystyle u}$ : tout ${\displaystyle w}$ égal à ${\displaystyle v}$ presque partout est aussi une dérivée faible de ${\displaystyle u}$. Ce n’est généralement pas un problème, car dans la théorie de l'espace L^p et des espaces de Sobolev, les fonctions qui sont égales presque partout sont identifiées.

• La fonction caractéristique des nombres rationnels ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ n'est nulle part différentiable, mais sa dérivée est faible. Puisque la mesure de Lebesgue des nombres rationnels est zéro,

${\displaystyle \int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)dt=0.}$

ainsi ${\displaystyle v(t)=0}$ est la dérivée faible de ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$. Il faut noter que ceci est en accord avec l'intuition puisque considérée comme membre d'un espace, ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ est identique à la fonction nulle.

• la fonction escalier de Cantor ${\displaystyle c}$ n'a pas de dérivée faible, bien qu'elle soit différentiable presque partout. En effet, toute dérivée faible de ${\displaystyle c}$ devrait être égale presque partout à la dérivée classique de ${\displaystyle c}$, qui est égale à zéro presque partout. Mais la fonction zéro n'est pas une dérivée faible de ${\displaystyle c}$, comme le montre la comparaison avec une fonction test appropriée. Plus théoriquement, ${\displaystyle c}$ n'a pas de dérivée faible car sa dérivée de distribution, à savoir la distribution de Cantor, est une mesure singulière et ne peut donc pas être représentée par une fonction.