Forme de Legendre

L'intégrale elliptique incomplète du premier type est définie par :

${\displaystyle F(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}}\,\mathrm {d} t,}$

le deuxième type comme

${\displaystyle E(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}\,\mathrm {d} t,}$

et le troisième type comme

${\displaystyle \Pi (\phi ,n,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{(1-n\sin ^{2}(t)){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}}}\,\mathrm {d} t.}$

L'argument n d'intégrale du troisième type est connu sous le nom de caractéristique, qui dans différentes conventions de notation peut apparaître comme le premier, le deuxième ou le troisième argument de Π et est en outre parfois défini avec le signe opposé. L'ordre des arguments indiqué ci-dessus est celui de Gradshteyn et Ryzhik^[2] ainsi que Numerical Recipes^[3]. Le choix du signe est celui d'Abramowitz et Stegun^[4] ainsi que de Gradshteyn et Ryzhik^[2], mais correspond au ${\displaystyle \Pi (\phi ,-n,k)}$ de Numerical Recipes^[3].

Les intégrales elliptiques complètes respectives sont obtenues en réglant l'amplitude, ${\textstyle \phi }$, la limite supérieure des intégrales, à ${\textstyle \pi /2}$.

La forme de Legendre d'une courbe elliptique est donnée par

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda ).}$