Forme modulaire de Hilbert

Soit F un corps totalement réel de degré m sur le corps des rationnels. Soit ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}}$ les plongements réels de F. On définit ainsi une application

${\displaystyle GL_{2}(F)\to GL_{2}(\mathbb {R} )^{m}.}$

Soit ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ l'anneau des entiers de F. Le groupe ${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$ est appelé le groupe modulaire de Hilbert plein. Pour tout élément ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{m})\in {\mathcal {H}}^{m}}$, on dispose d'une action de groupe sur ${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$ définie par ${\displaystyle \gamma \cdot z=(\sigma _{1}(\gamma )z_{1},\ldots ,\sigma _{m}(\gamma )z_{m})}$.

Pour

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL_{2}(\mathbb {R} ),}$

on définit:

${\displaystyle j(g,z)=\det(g)^{-1/2}(cz+d)}$

Une forme modulaire de Hilbert de poids ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$ est une fonction analytique sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ telle que pour tout ${\displaystyle \gamma \in GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$

${\displaystyle f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}$

Contrairement au cas de forme modulaire, aucune condition supplémentaire n'est requise, en raison du principe de Koecher.^{[Information douteuse]}