Formule de Cauchy pour l'intégration successive

Soit f une fonction réelle continue. D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, une primitive n-ième de f est :

${\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}}$.

Sa version condensée en une seule intégrale est :

${\displaystyle f^{[n]}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-y\right)^{n-1}f(y)\,\mathrm {d} y}$.

Une preuve peut être donnée par récurrence. Pour l'initialisation (n = 1), il n'y a rien à démontrer car les deux expressions ci-dessus coïncident.

Quelques calculs (Beardon 2000) nous amènent à :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{[n]}(x)=f^{[n-1]}(x)}$.

De plus, f ^[n] s'annule en a. Par hypothèse de récurrence, elle est donc bien la primitive n-ième de f spécifiée initialement.