Potentiel de Riesz

Soit 0 < α < n, alors le potentiel de Riesz I_α f d'une fonction f localement intégrable sur Rⁿ est la fonction définie par

$${\displaystyle (I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,\mathrm {d} y}$$

où la constante c_α est donnée par

$${\displaystyle c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}}$$

Cette intégrale singulière^[4] est définie à condition que f décroisse suffisamment rapidement à l'infini. C'est le cas en particulier si f ∈ L^p ( Rⁿ ) avec 1 ≤ p < n/α^[5].

En fait, pour tout p ≥ 1, la décroissance de f et celle de I_αf sont liées, de par l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev.

${\displaystyle \|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}}}$

où ${\displaystyle Rf=DI_{1}f}$ est la transformée de Riesz à valeur vectorielle.

Plus généralement, l' opérateur I_α est bien défini pour tout nombre complexe α tel que 0 < Re(α) < n.

On peut généraliser le potentiel de Riesz pour les distributions en le définissant comme la convolution

${\displaystyle I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }}$

où K _α est la fonction localement intégrable :

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}}$

Le potentiel de Riesz peut donc être défini pour toute distribution f à support compact. À cet égard, le potentiel de Riesz d'une mesure de Borel positive μ à support compact présente un intérêt en théorie du potentiel car I_α μ est alors une fonction sous-harmonique continue en dehors du support de μ, et est semi-continue inférieurement sur tout Rⁿ.

L'étude de la transformée de Fourier révèle que le potentiel de Riesz est un multiplicateur de Fourier^[6]. En effet, on a

${\displaystyle {\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }}$

et donc, d'après le théorème de convolution,

${\displaystyle {\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi )}$

Les potentiels de Riesz ont une propriété de demi-groupe par exemple sur les fonctions continues rapidement décroissantes, on a :

${\displaystyle I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }}$

si on suppose que

${\displaystyle 0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n.}$

De plus, si 0 < Re α < n–2, alors

${\displaystyle \Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }}$

On a aussi, pour cette classe de fonctions,

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).}$

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