Formule de Clausen

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En mathématiques, la formule de Clausen, découverte par Thomas Clausen, exprime le carré d'une fonction hypergéométrique gaussienne comme une fonction hypergéométrique généralisée. Elle établit l'égalité :

$\;_{2}F_{1}\left(a,b\,;\,a+b+1/2\,;\,x\right)^{2}=\;_{3}F_{2}\left(2a,2b,a+b\,;\,a+b+1/2,2a+2b\,;\,x\right)$

En particulier, elle donne des conditions pour qu'une fonction hypergéométrique soit positive.

La fonction hypergéométrique $3 F 2$ est parfois appelée « fonction hypergéométrique de Clausen »^[1].

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On pose^[2]

f_{1}(x)=\;_{2}F_{1}\left(a,b\,;\,a+b+1/2\,;\,x\right)^{2},\quad f_{2}(x)=\;_{3}F_{2}\left(2a,2b,a+b\,;\,a+b+1/2,2a+2b\,;\,x\right)

Une démonstration classique repose sur le fait que $f 1$ et $f 2$ sont toutes deux solutions de l'équation différentielle du 3^e ordre :

x^{2}(x-1)y^{(3)}-3x(a+b+{\frac {1}{2}}-(a+b+1)x)y^{(2)}+((2(a^{2}+b^{2}+4ab)+3(a+b)+1)x-(a+b)(2a+2b+1))y'+4ab(a+b)y=0

Dès lors, par le théorème de Cauchy-Lipschitz, il suffit de vérifier l'égalité des conditions initiales pour établir l'égalité entre les deux fonctions. Or, on a en effet

f_{1}(0)=f_{2}(0)=1

f_{1}'(0)=f_{2}'(0)={\frac {2ab}{a+b+{\frac {1}{2}}}}

f_{1}''(0)=f_{2}''(0)={\frac {ab(4a^{2}b+4ab^{2}+8ab+2a^{2}+2b^{2}+3a+3b+1)}{(a+b+1/2)^{2}(a+b+3/2)}}

Applications

Srinivasa Ramanujan a utilisé une variante de la formule de Clausen pour $a = b = 1/2$ pour établir une de ses 17 égalités pour $1/ π$ ^[3]^,^[4]^,^[5].

Elle permet également d'établir directement le développement en série entière du carré de la fonction arc sinus, en prenant $a = b = 1$ :

\arcsin(x)^{2}=\left(x\,_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{matrix}};x\right)\right)^{2}=x^{2}\,_{3}F_{2}\left({\begin{matrix}1,1,1\\{\frac {3}{2}},2\end{matrix}};x^{2}\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}{\frac {x^{2n+2}}{n+1}}.

Ce résultat peut être utilisé pour démontrer plusieurs inégalités, comme l'inégalité d'Askey-Gasper utilisée dans la démonstration du théorème de de Branges.

Formule de Clausen

Applications

Références

Liens externes

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