Formule de Perron

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie analytique des nombres, la formule de Perron est une formule d'Oskar Perron pour calculer la fonction sommatoire ( $A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n)$ ) d'une fonction arithmétique, au moyen d'une transformation de Mellin inverse de la série de Dirichlet associée.

La formule de Perron

Soient $(a (n)) n \inℕ*$ une fonction arithmétique et

A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n),

où l'étoile sur le symbole de sommation indique que le dernier terme doit être multiplié par 1/2 quand $x$ est entier.

On suppose que la série de Dirichlet classique

f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}

admet une abscisse de convergence simple finie σ_c.

Alors, la formule de Perron est^[1] : pour tous réels c > max(0, σ_c) et $x$ > 0,

A(x)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }f(s){\frac {x^{s}}{s}}~\mathrm {d} s,

où l'intégrale est semi-convergente pour $x$ non entier et converge en valeur principale pour $x$ entier.

Formule de Perron pour une série de Dirichlet générale

Pour une série de Dirichlet générale, de la forme

f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)\mathrm {e} ^{-\lambda _{n}s},

on a de même^[2]^,^[3]^,^[4], pour tous nombres réels c > max(0, σ_c) et $y ∊ ]λ n, λ n + 1 [$ ,

\sum _{k=1}^{n}a(k)={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }f(s){\frac {\mathrm {e} ^{sy}}{s}}~\mathrm {d} s.

Formules effectives

Première formule de Perron effective

Soit $f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}$ pour $\sigma >\sigma _{c}$ , d'abscisse de convergence absolue finie $\sigma _{a}$ .

Alors on a^[1], si $x\geq 1,T\geq 1,c>\max(0,\sigma _{a}),$

\sum _{n\leq x}a(n)={\frac {1}{2i\pi }}\int _{c-\mathrm {i} T}^{c+\mathrm {i} T}f(u){\frac {x^{u}}{u}}\;\mathrm {d} u+O\left(x^{c}\sum _{n\geq 1}{\frac {|a_{n}|}{n^{c}(1+T|\ln(x/n)|)}}\right).

Seconde formule de Perron effective

Soit $f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}$ pour $\sigma >\sigma _{c}$ , d'abscisse de convergence absolue finie $\sigma _{a}$ , et où $|a_{n}|\leq \psi (n),$ pour une fonction $\psi (n)$ croissante (au sens large).

On suppose de plus que, pour un nombre réel $\alpha \geq 0$ ,

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a(n)|}{n^{\sigma }}}=O\left({\frac {1}{(\sigma -\sigma _{a})^{\alpha }}}\right)

quand

\sigma _{a}<\sigma \leq \sigma _{a}+1.

Alors on a^[1], si $x\geq 2,T\geq 2,\sigma \leq \sigma _{a},c:=\sigma _{a}-\sigma +1/\ln x,$

\sum _{n\leq x}{\frac {a(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} T}^{c+\mathrm {i} T}f(u+s){\frac {x^{u}}{u}}\;du+O\left(x^{\sigma _{a}-\sigma }{\frac {(\ln x)^{\alpha }}{T}}+{\frac {\psi (2x)}{x^{\sigma }}}\left(1+x{\frac {\ln T}{T}}\right)\right).

Preuves

Pour les trois formules concernant les séries de Dirichlet classiques, on part du lemme suivant établi par le calcul des résidus^[1]^,^[5].

Soit $h(x)$ la fonction valant 0 sur l'intervalle [0,1[, 1 sur l'intervalle $x > 1$ (et 1/2 pour $x = 1$ ). Alors, pour tous $c, T, T' > 0$ :
$\forall x\neq 1\quad \left|h(x)-{\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} T'}^{c+\mathrm {i} T}{\frac {x^{u}}{u}}~\mathrm {d} u\right|\leq {\frac {x^{c}}{2\pi |\ln x|}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{T'}}\right),\qquad \left|h(1)-{\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} T}^{c+\mathrm {i} T}{\frac {1}{u}}~\mathrm {d} u\right|\leq {\frac {c}{T+c}}.$

Il reste ensuite à multiplier par $a n / n s$ et sommer sur $n$ .

Une preuve^[1] de la formule de Perron pour une série de Dirichlet classique consiste à appliquer d'abord ce lemme lorsque $c$ est strictement supérieur à l'abscisse de convergence absolue $σ a$ de la série. Si on a seulement $c > σ c$ , alors $c + 1 > σ a$ et le théorème intégral de Cauchy permet de se ramener au cas précédent.