Formule de Stokes

La formule de Stokes est une généralisation de la formule de Green. Elle relie le flux du rotationnel d'un champ vectoriel à travers une surface avec la circulation du champ autour de celle-ci. Elle constitue un cas particulier du théorème de Stokes généralisé: un champ vectoriel sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ peut être considéré comme une 1-forme ; dans ce cas, son rotationnel correspond à sa dérivée extérieure, une 2-forme.

Soit ${\displaystyle \partial S}$, une courbe fermée orientée dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, S une surface orientée dont le contour est ${\displaystyle \partial S}$. L'orientation de ${\displaystyle \partial S}$ est induite par l'orientation de S. Si le champ vectoriel ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$ admet des dérivées partielles continues, alors :

${\displaystyle \oint _{\partial S}{\vec {V}}\cdot d{\vec {l}}=\int \!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {V}}\cdot {\vec {n}}dS}$

où ${\displaystyle d{\vec {l}}}$ est le vecteur directeur de la courbe en tout point, ${\displaystyle rot\ {\vec {V}}=\nabla \wedge {\vec {V}}}$ le rotationnel de ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$, et ${\displaystyle d{\vec {S}}}$ le vecteur normal à un élément de surface infinitésimal dont la norme est égale à la surface de l'élément.

Son application directe est le Théorème d'Ampère (on l'applique au champ magnétique).