Théorème de Stokes

Le théorème de Stokes résulte d’un développement progressif au XIXᵉ siècle, plutôt que d’une découverte isolée. Ses origines remontent aux travaux de mathématiciens qui relient des intégrales de dimensions k et k-1, comme Lagrange et Laplace à la fin du XVIIIᵉ siècle, puis Gauss (1813), Ostrogradsky (1826) et Green (1828) apportent des contributions importantes au théorème de la divergence avec des résultats reliant une intégrale sur une région plane à une intégrale sur son contour^[1]. Lord Kelvin découvre à Cambridge une formule particulière pour le rotationnel d'un champ de vecteurs. Il entretient à ce sujet une correspondance active de 1822 à 1853 avec Stokes^[2] qui en 1854 demande aux candidats du prix Smith de redémontrer cette formule^[3]. Maxwell, colauréat du prix avec Edward Routh y fera ensuite référence sous le nom de théorème de Stokes. Tous ces résultats sont progressivement reconnus comme des cas particuliers d’un principe unificateur. Au XXᵉ siècle, des mathématiciens comme Goursat, Volterra, Poincaré et finalement en 1945 Cartan^[4] généralisent ces idées, menant à la formulation moderne du théorème en termes de formes différentielles sur les variétés.

Théorème de Stokes^[5],[6] — Soit M une variété différentielle à bord, orientée de dimension n, et ω une (n–1)-forme différentielle à support compact sur M de classe C¹. Alors, on a :

${\displaystyle \int _{M}\!\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\!i^{*}\omega }$

où d désigne la dérivée extérieure, ∂M le bord de M, muni de l'orientation induite^[7], et ${\displaystyle i^{*}\omega =\omega |_{\partial M}}$ la restriction de ω à ∂M.

La démonstration demande de disposer d'une bonne définition de l'intégration ; son apparente simplicité est trompeuse. L'idée est d'utiliser une partition de l'unité adaptée au problème dans la définition de l'intégrale d'une forme différentielle, et de se ramener à un cas presque évident.

Soit {U_i}_I un recouvrement localement fini de M par des domaines de cartes locales ${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\rightarrow \phi _{i}(U_{i})\subset \mathbb {R} ^{n}}$, telles que :

${\displaystyle \phi _{i}(U_{i}\cap \partial M)=\phi _{i}(U_{i})\cap (\{0\}\times \mathbb {R} ^{n-1}).}$

Introduisons χ_i une partition de l'unité subordonnée à {U_i}. Comme le support de ω est fermé, la forme différentielle ω s'écrit :

${\displaystyle \omega =\sum \chi _{i}\omega }$

où la sommation est à support fini. Posons ${\displaystyle \beta _{i}=\phi _{i}^{*}\left[\chi _{i}\omega \right]}$, forme différentielle à support compact de M' = ℝ₊×ℝ^n–1. La restriction ${\displaystyle \phi _{i}|_{\partial M}}$ est un difféomorphisme sur son image préservant les orientations induites. On a donc :

${\displaystyle \int _{\partial M}\!\left[\chi _{i}\omega \right]=\int _{\partial M'}\!\beta _{i}.}$

Comme ϕ_i* commute avec l'opérateur de différentiation d, on a :

${\displaystyle \int _{M}\!\mathrm {d} \left[\chi _{i}\omega \right]=\int _{M'}\!\mathrm {d} \beta _{i}.}$

Par sommation, le théorème de Stokes est démontré une fois établi le cas particulier M' = ℝ₊×ℝ^n–1.

Une (n-1)-forme ω sur M' = ℝ₊×ℝ^n–1 s'écrit :

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot \mathrm {d} x_{1}\wedge \dots \wedge {\widehat {\mathrm {d} x_{i}}}\wedge \dots \wedge \mathrm {d} x_{n}}$

où le chapeau désigne une omission. On trouve alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega &=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\mathrm {d} x_{j}\right)\wedge \mathrm {d} x_{1}\wedge \dots \wedge {\widehat {\mathrm {d} x_{i}}}\wedge \dots \wedge \mathrm {d} x_{n}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{1}\wedge \dots \wedge \mathrm {d} x_{n}.\end{aligned}}}$

Le théorème de Fubini donne :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ^{n-1}}\!\mathrm {d} \omega &=\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ^{n-1}}(-1)^{i-1}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{1}\dots \mathrm {d} x_{n}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\!\left(\int _{0}^{+\infty }{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}\right)\mathrm {d} x_{2}\dots \mathrm {d} x_{n}+\sum _{i=2}^{n}\int _{\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ^{n-2}}(-1)^{i-1}\!\left(\int _{\mathbb {R} }{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}\right)\mathrm {d} x_{1}\dots {\widehat {\mathrm {d} x_{i}}}\dots \mathrm {d} x_{n}.\end{aligned}}}$

L'hypothèse que la forme ω est à support compact permet alors de finir le calcul, car les termes ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}}$ pour i ≥ 2 sont tous nuls :

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ^{n-1}}\!\mathrm {d} \omega =-\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}f_{1}(0,x_{2},\dots ,x_{n})\mathrm {d} x_{2}\dots \mathrm {d} x_{n}=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}i^{*}\omega ,}$

d'où le résultat.

Si f est une fonction ${\displaystyle C^{\infty }}$ de la variable réelle, alors f est une forme différentielle de degré zéro, dont la différentielle est f'(x) dx. Le bord orienté de [a , b] est {b} – {a} (extrémité avec l'orientation + et origine avec l'orientation –), quelles que soient les valeurs relatives de a et b. La formule de Stokes donne dans cette situation :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\mathrm {d} x=f(b)-f(a).~}$

En fait, le théorème de Stokes est la généralisation de cette formule aux dimensions supérieures. La difficulté se trouve bien davantage dans la mise en place du bon cadre (formes différentielles, variétés à bord ou éventuellement plus générales, orientations) que dans la démonstration, qui repose sur le second théorème fondamental de l'analyse et un argument de partition de l'unité.

Soit U un domaine compact lisse de ℝ² et α = f dx + g dy une 1-forme différentielle sur ℝ². Alors, la formule de Stokes s'écrit :

${\displaystyle \int _{\partial U}\alpha =\int _{\partial U}\![f\mathrm {d} x+g\mathrm {d} y]=\iint _{U}\left[{\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right]\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.}$

La formule de Green-Riemann est utilisée en géométrie pour démontrer l'inégalité de Poincaré.

Soit K un domaine compact à bord lisse de ℝ³ et posons ω = dx ∧ dy ∧ dz une forme volume sur ℝ³. Si X est un champ de vecteurs sur un voisinage ouvert de K, alors sa divergence div(X) vérifie

${\displaystyle \mathrm {d} (\iota _{X}\omega )=\mathrm {div} (X)\cdot \omega }$

où ι_Xω désigne le produit intérieur de ω par X. La formule de Stokes s'écrit alors

${\displaystyle \int _{\partial K}\iota _{X}\omega =\int _{K}\mathrm {div} (X)\cdot \omega }$

soit, dans les coordonnées où X = (f, g, h),

${\displaystyle \iint _{\partial K}\!\left[f\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+g\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+h\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\right]=\iiint _{K}\!\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial g}{\partial y}}+{\frac {\partial h}{\partial z}}\right]\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$

Notons ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}}$ le champ de vecteurs normal sortant d'un domaine U relativement compact à bord régulier. Soit X un champ de vecteurs défini au voisinage de l'adhérence de U. On définit la forme surfacique sur ∂U par :

${\displaystyle \eta =\iota (N)(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z){\big |}_{\partial U}.}$

On définit le flux de X par :

${\displaystyle \oint _{\partial U}{\vec {X}}\ \mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{\partial U}\langle X\mid N\rangle \cdot \eta .}$

La formule d'Ostrogradski se réécrit alors :

${\displaystyle \oint _{\partial U}{\vec {X}}\ \mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{U}(\mathrm {div} X)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$

Soit ∂S une courbe fermée orientée dans ℝ³, S une surface orientée dont le contour est ∂S. L'orientation de ∂S est induite par l'orientation de S. Si le champ vectoriel ${\displaystyle {\vec {V}}}$ admet des dérivées partielles continues, alors :

${\displaystyle \oint _{\partial S}{\vec {V}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=\iint _{S}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {V}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}}$

où ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {l}}}$ est le vecteur directeur de la courbe en tout point, ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {V}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {V}}}$ le rotationnel de ${\displaystyle {\vec {V}}}$, et ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}}$ le vecteur normal à un élément de surface infinitésimal dont la norme est égale à la surface de l'élément.

Son application directe est le théorème d'Ampère (on l'applique au champ magnétique). De même, le théorème de flux-divergence permet notamment de retrouver la version intégrale du théorème de Gauss en électromagnétisme.

La formule de Stokes est utilisée pour démontrer le théorème de dualité de De Rham.

Elle permet aussi de démontrer le lemme de Poincaré. Ce dernier s'avère d'une grande utilité pour comprendre les isotopies en homologie. Il est aussi utilisé notablement dans la preuve du théorème de Darboux en géométrie symplectique.