Formule de la co-aire

Soit u une fonction de ℝⁿ dans ℝ, lipschitzienne donc dérivable presque partout. Alors,

pour toute partie mesurable A de ℝⁿ,${\displaystyle \int _{A}\|\nabla u(x)\|~\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }H^{n-1}(A\cap u^{-1}(t))~\mathrm {d} t}$

où ║∇u║ est la norme euclidienne du gradient de u et H ^{n – 1} est la mesure de Hausdorff de dimension n – 1

ou, ce qui est équivalent :

pour toute fonction mesurable g de ℝⁿ dans [0, +∞],

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)\|\nabla u(x)\|~\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }\left(\int _{u^{-1}(t)}g(x)~dH^{n-1}(x)\right)~\mathrm {d} t.}$

Soit u une fonction lipschitzienne de ℝⁿ dans ℝ^k avec k ≤ n. Alors,

pour toute partie mesurable A de ℝⁿ,${\displaystyle \int _{A}J_{k}u(x)~\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{k}}H^{n-k}(A\cap u^{-1}(t))~\mathrm {d} t}$

où J_ku est le jacobien k-dimensionnel de u : ${\displaystyle J_{k}u(x)={\sqrt {\det \left(J_{u}(x)^{\operatorname {t} }\!J_{u}(x)\right)}}.}$ ou, ce qui est équivalent :

pour toute fonction mesurable g de ℝⁿ dans [0, +∞],${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)J_{k}u(x)~\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{k}}\left(\int _{u^{-1}(t)}g(x)~\mathrm {d} H^{n-k}(x)\right)~\mathrm {d} t.}$

Remarques

• Dans la première de ces deux formules, le fait préalable (implicite ici) que pour presque tout t dans ℝ^k, la dimension de Hausdorff de l'ensemble A ∩ u⁻¹(t) vaut n – k, peut s'interpréter comme une généralisation du théorème de Sard.
• Dans la seconde on retrouve, pour u égal à la projection sur les k premières coordonnées, le théorème classique de Fubini-Tonelli sur ℝ^k × ℝ^{n – k}.
• Ce théorème se généralise encore^[1], en une formule de la co-aire pour les variétés (en), en prenant u lipschitzienne, d'une variété riemannienne de classe C¹, de dimension n, dans une autre, de dimension k ≤ n.
• La « formule de l'aire^[3] », plus classique, concerne le cas k ≥ n et le jacobien n-dimensionnel,${\displaystyle J_{n}u(x)={\sqrt {\det \left(^{\operatorname {t} }\!J_{u}(x)J_{u}(x)\right)}}.}$